6信州大学 2024年 数学 第6問解答・解説

・ $$\displaystyle F(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}-1-\frac{x^2}{2}$$ とおく。$F(-x)=F(x)$ だから、$x\ge0$ の場合を示せばよい。 $$\displaystyle F'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}-x,\qquad F''(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}-1 =\frac12\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2\ge0.$$ よって $x\ge0$ で $F'$ は増加し、$F'(0)=0$ から $F'(x)\ge0$ である。したがって $F$ も $x\ge0$ で増加し、$F(0)=0$ より $F(x)\ge0$。偶関数であることと合わせて、すべての実数 $x$ について $$\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}\ge1+\frac{x^2}{2}$$ が成り立つ。

・ $\displaystyle t=\dfrac{\pi}{2}-u$ とおくと、$dt=-du$ であり、$\displaystyle t=0,\dfrac{\pi}{2}$ はそれぞれ $\displaystyle u=\dfrac{\pi}{2},0$ に対応する。また $$\cos 2t=\cos(\pi-2u)=-\cos 2u.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{-\cos2t}\,dt =\int_0^{\pi/2}e^{-\cos(\pi-2u)}\,du =\int_0^{\pi/2}e^{\cos2u}\,du,$$ となり、求める等式が成り立つ。

・ (1)で $x=\cos2t$ とすると $$\displaystyle \frac{e^{\cos2t}+e^{-\cos2t}}{2} \ge 1+\frac12\cos^2 2t.$$ 両辺を $0$ から $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ まで積分し、(2)の等式を用いると $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{\cos2t}\,dt \ge \frac{\pi}{2}+\frac12\int_0^{\pi/2}\cos^2 2t\,dt.$$ ここで $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^2 2t\,dt =\frac12\int_0^{\pi/2}(1+\cos4t)\,dt =\frac{\pi}{4}$$ なので、 $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}e^{\cos2t}\,dt \ge \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8} =\frac{5\pi}{8}.$$