5信州大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) 角度はラジアンで表す。直線 $l,m$ の正の部分はそれぞれ偏角 $\displaystyle \frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{6}$ の半直線なので、$\displaystyle \angle POQ=\frac{\pi}{3}$ である。$PQ=2$ より三角形 $OPQ$ は退化せず、$t=\angle OPQ$ とすると $$\displaystyle 0<t<\frac{2\pi}{3},\qquad \angle OQP=\frac{2\pi}{3}-t.$$ 正弦定理を用いると $$\displaystyle OP=\frac{2\sin(\frac{2\pi}{3}-t)}{\sin(\frac{\pi}{3})} =\frac4{\sqrt3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right),\qquad OQ=\frac{2\sin t}{\sin(\frac{\pi}{3})}=\frac4{\sqrt3}\sin t.$$ それぞれの半直線の方向の単位ベクトルは $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$ と $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2},-\frac12)$ である。よって $$\displaystyle \boxed{P=\left(2\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right),\frac2{\sqrt3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right)\right)},$$ $$\displaystyle \boxed{Q=\left(2\sin t,-\frac2{\sqrt3}\sin t\right)} \qquad\left(0<t<\frac{2\pi}{3}\right).$$

(2) 中点 $M=(x,y)$ の座標は $$\displaystyle x=\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right)+\sin t, \qquad y=\frac1{\sqrt3}\left\{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right)-\sin t\right\}.$$ $\displaystyle u=\frac{\pi}{3}-t$ とおき、和積の公式を使うと $$\displaystyle x=\sqrt3\cos u,\qquad y=\frac1{\sqrt3}\sin u, \qquad -\frac{\pi}{3}<u<\frac{\pi}{3}.$$ 従って $$\displaystyle \frac{x^2}{3}+3y^2=\cos^2u+\sin^2u=1.$$ また $\displaystyle |u|<\frac{\pi}{3}$ より $\displaystyle \cos u>\frac12$ なので $\displaystyle x>\frac{\sqrt3}{2}$ である。逆にこの範囲の $u$ はすべて $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}-u$（$\displaystyle 0<t<\frac{2\pi}{3}$）に対応し、正弦定理で得る正の $OP,OQ$ は指定された半直線上にあり、$PQ=2$ を満たす。したがって軌跡は $$\displaystyle \boxed{\frac{x^2}{3}+3y^2=1,\qquad x>\frac{\sqrt3}{2}}$$ で表される楕円の右側の弧である。端点 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{2},\pm\frac12\right)$ は $\displaystyle t=0,\frac{2\pi}{3}$ に対応し、そのとき $Q=O$ または $P=O$ となって条件 $x>0$ の半直線から外れるため、いずれも含まない。