III東北医科薬科大学 2019年 数学 第III問解答・解説

(1) 楕円上の点を $(3\cos u,2\sin u)$ とおくと、その点における接線は $$\displaystyle \frac{x\cos u}{3}+\frac{y\sin u}{2}=1$$ である。これが $Q(3,p)$ を通る条件は $$\displaystyle \cos u+\frac p2\sin u=1.$$ $\cos^2u+\sin^2u=1$ と合わせて解くと、接点は $$\displaystyle (3,0),\qquad \left(\frac{3(4-p^2)}{p^2+4},\frac{8p}{p^2+4}\right)$$ となる。$p>2$ より後者の $x$ 座標は負であるから、これが $Q_1$、前者が $Q_2$ である。したがって $$\displaystyle Q_2=(3,0),\qquad x_1=\frac{12-3p^2}{p^2+4}.$$ 接点 $Q_1(x_1,y_1)$ における接線は $\displaystyle \dfrac{x_1x}{9}+\dfrac{y_1y}{4}=1$ なので、その傾きは $$\displaystyle -\frac{4x_1}{9y_1}=\frac{p^2-4}{6p}.$$ よって $\text{ア}=3,\text{イ}=0,\text{ウ}=4,\text{エ}=6,\text{オ}=1,\text{カ}=2,\text{キ}=3,\text{ク}=4$ である。

(2) $p=2\sqrt3$ なら $p^2=12$ だから $$\displaystyle x_1=\frac{12-3\cdot12}{12+4}=-\frac32.$$ 座標を $u=x/3,\ v=y/2$ と変換すると、面積は単位円内で $\displaystyle u\geq-\dfrac12,\ v\geq0$ を満たす部分の面積の $6$ 倍になる。単位円の上半分から除く部分は、弦 $\displaystyle u=-\dfrac12$ の左側にある円弧部分の上半分である。この円弧部分全体は中心角 $120^\circ$ の扇形から二辺が $1$、その間の角が $120^\circ$ の三角形を除いたものなので、その面積は $\displaystyle \dfrac\pi3-\dfrac{\sqrt3}{4}$ である。よって求める面積は $$\displaystyle 6\left\{\frac\pi2-\frac12\left(\frac\pi3-\frac{\sqrt3}{4}\right)\right\} =2\pi+\frac{3\sqrt3}{4} =\frac{8\pi+3\sqrt3}{4}.$$ したがって $\text{ケ}=-,\text{コ}=3,\text{サ}=2,\text{シ}=8,\text{ス}=3,\text{セ}=3,\text{ソ}=4$ である。

(3) $t$ は $3$ ではなく、かつ $t\geq0$ だから、接線は垂直線ではなく傾きを $m$ として表せる。直線 $Q$ を通る傾き $m$ の直線を $y=m(x-t)+p$ とし、これを楕円に代入すると $$(4+9m^2)x^2+18m(p-mt)x+9(p-mt)^2-36=0$$ を得る。接線である条件はこの二次方程式の判別式が $0$ となることであり、整理すると $$(p-mt)^2=4+9m^2, \qquad (t^2-9)m^2-2ptm+(p^2-4)=0.$$ 二つの接線の傾きを $m_1,m_2$ とすると、解と係数の関係から $$\displaystyle m_1+m_2=\frac{2pt}{t^2-9},\qquad m_1m_2=\frac{p^2-4}{t^2-9}.$$ 二直線が直交する条件は $m_1m_2=-1$ なので $$\displaystyle \frac{p^2-4}{t^2-9}=-1\quad\text{すなわち}\quad p^2+t^2=13.$$ よって $\text{タ}=1,\text{チ}=3$ である。

直交しないとき、二直線のなす角 $\theta$ について、傾きと加法定理から $$\displaystyle |\tan\theta|=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.$$ また、上の二次方程式の判別式と解と係数の関係から $$\displaystyle (m_2-m_1)^2=\frac{4(9p^2+4t^2-36)}{(t^2-9)^2},\qquad 1+m_1m_2=\frac{p^2+t^2-13}{t^2-9}.$$ これらを代入し、分子・分母の $|t^2-9|$ を約分すると $$\displaystyle |\tan\theta|=\frac{2\sqrt{9p^2+4t^2-36}}{|p^2+t^2-13|}.$$ $p>2$ より根号内は正であり、直交しない場合は分母も $0$ でない。したがって $\text{ツ}=2,\text{テ}=9,\text{ト}=4,\text{ナ}=3,\text{ニ}=6,\text{ヌ}=1,\text{ネ}=3$ である。