3日本大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 楕円上の点を $P=(\cos t,2\sin t)$ とおく。$\displaystyle B-A=(1,-\frac{\sqrt2}{2})$, $\displaystyle P-A=(\cos t+1,2\sin t+\frac{3\sqrt2}{2})$ である。座標による三角形の面積公式から, 面積の2倍に当たる向き付きの値は $\displaystyle (x_B-x_A)(y_P-y_A)-(y_B-y_A)(x_P-x_A)=2\sin t+\frac{\sqrt2}{2}\cos t+2\sqrt2$。三角関数部分の振幅は $\displaystyle \sqrt{2^2+(\frac{\sqrt2}{2})^2}=\frac{3\sqrt2}{2}$ であり, 向き付きの値の最小値も $\displaystyle 2\sqrt2-\frac{3\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}>0$ だから, これを2で割ったものが常に面積である。最大値は $\displaystyle \frac12(2\sqrt2+\frac{3\sqrt2}{2})=\frac{7\sqrt2}{4}$。最大となるとき $\displaystyle \sin t=\frac{2}{3\sqrt2/2}=\frac{2\sqrt2}{3}$, $\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt2/2}{3\sqrt2/2}=\frac13$ なので $\displaystyle P=(\frac13,\frac{4\sqrt2}{3})$。

(2) 楕円上の点 $(u,2v)$ は $u^2+v^2=1$ を満たし, その接線は $\displaystyle ux+\frac v2y=1$ である。これが $B=(0,-2\sqrt2)$ を通る条件は $-\sqrt2 v=1$, よって $\displaystyle v=-\frac1{\sqrt2}$。第4象限の接点では $\displaystyle u=\frac1{\sqrt2}$ だから接点は $\displaystyle (\frac{\sqrt2}{2},-\sqrt2)$。接線式に代入して $\displaystyle \frac{x}{\sqrt2}-\frac{y}{2\sqrt2}=1$, すなわち $y=2x-2\sqrt2$。

(3) 点 $P$ が楕円を一周するときの三角形の和集合は, 楕円の内部と線分 $AB$ の凸包である。実際, 楕円内部の点から線分 $AB$ 上の点へ引いた線分は, その直線を延長すれば楕円上の点に達するため, いずれかの三角形 $ABP$ に含まれる。凸包の境界は $AB$, $A$ と楕円の左端 $L=(-1,0)$ を結ぶ接線分, 楕円の $L$ から $\displaystyle T=(\frac{\sqrt2}{2},-\sqrt2)$ までの上側・右側を通る弧, および接線分 $TB$ である。$L$ から $T$ へのこの弧の媒介変数の角度差は $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$。単位円の扇形を縦に2倍した面積が対応する楕円扇形の面積なので, その面積は $\displaystyle \frac{1\cdot2}{2}\cdot\frac{5\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$。残る多角形 $O-L-A-B-T$ は三角形 $OLA,OAB,OBT$ に分けられ, 面積の和は $\displaystyle \frac{3\sqrt2}{4}+\sqrt2+1=1+\frac{7\sqrt2}{4}$。よって求める面積は $\displaystyle \frac{5\pi}{4}+1+\frac{7\sqrt2}{4}=\frac{7\sqrt2+4+5\pi}{4}$。