3昭和大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) 円$A$の中心は原点、半径は$r$であり、円$B$の中心までの距離を$d=\sqrt{a^2+b^2}$とする。円$B$全体が円$A$の内部にあり、両円に共有点がないための条件は、中心間距離に半径$c$を加えた長さが$r$より小さいことである。従って $$d+c<r,\qquad\text{すなわち}\qquad 0<c<r,\quad a^2+b^2<(r-c)^2.$$

(2) 円$A$の法線は原点と$P$を通るため、$(a,b)\ne(0,0)$のとき、$P$の位置ベクトルは$(a,b)$に平行である。$d=\sqrt{a^2+b^2}$とする。$b>0$なら上半円上の点は$\displaystyle \frac r d(a,b)$、$b<0$なら$\displaystyle -\frac r d(a,b)$である。$b=0$なら法線はx軸となり、その上半円との交点は両端点$(r,0),(-r,0)$である。

(3) 原点から円$B$の中心までの距離を$d=\sqrt{a^2+b^2}$とする。原点から円$B$に引ける接線は、原点が円$B$の外部にあれば2本、円周上にあれば1本、内部にあれば0本である。よってただ1本となる条件は原点が円$B$上にあること、すなわち $$d=c\quad\text{すなわち}\quad a^2+b^2=c^2.$$ この場合、先の円$A$への内包条件は$2c<r$となる。

(4) $P=(x,y)$とすると$x^2+y^2=r^2,\ y\ge0$。原点を通り$P$に沿う法線と円$B$の中心$(\sqrt{10},\sqrt{10})$との距離は $$\displaystyle \frac{\sqrt{10}|y-x|}{r}.$$ 法線が半径2の円$B$と共有点をもつ条件はこの距離が2以下であること。従って $$\displaystyle 10(y-x)^2\le4r^2 \quad\text{すなわち}\quad xy\ge\frac{3r^2}{10},$$ ここでは$x^2+y^2=r^2$を用いた。右辺は正なので$x,y>0$。$u=x^2/r^2$と置くと$y^2/r^2=1-u$であり、 $$\displaystyle u(1-u)\ge\frac9{100} \quad\text{すなわち}\quad \frac1{10}\le u\le\frac9{10}.$$ ゆえに$r/\sqrt{10}\le x\le3r/\sqrt{10}$。端点は接する場合であり含む。

(5) 円$A$上の点$(X,Y)$を$(x,y)=(2X,Y)$に移すと、$X^2+Y^2=r^2$から $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=r^2$$ を得る。上半分の点は$0\le\theta\le\pi$を使って$P'=(x_1,y_1)=(2r\cos\theta,r\sin\theta)$と表せる。$\theta$を動かしたときの接線方向は $$\displaystyle \left(\frac{dx}{d\theta},\frac{dy}{d\theta}\right)=(-2r\sin\theta,r\cos\theta)$$ である。この方向と$(x_1,4y_1)=(2r\cos\theta,4r\sin\theta)$との内積は$-4r^2\sin\theta\cos\theta+4r^2\sin\theta\cos\theta=0$。したがって$(x_1,4y_1)$が法線の方向である。$P'$を通り、この方向に平行な直線の方程式は $$4y_1(x-x_1)-x_1(y-y_1)=0.$$ $\theta=0,\pi/2,\pi$でも接線方向ベクトルは零にならず、この式は端点と上端を含めて成り立つ。

(6) $\displaystyle x_1=\sqrt2r,\ y_1=\frac{\sqrt2}{2}r$を法線式に代入すると $$2\sqrt2r\,x-\sqrt2r\,y-3r^2=0.$$ 円$B$の中心は原点なので、この直線と原点との距離が半径$c$である。よって $$\displaystyle c=\frac{3r^2}{\sqrt{(2\sqrt2r)^2+(\sqrt2r)^2}} =\frac{3r}{\sqrt{10}}.$$