2昭和大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) $f_n$は多項式なので微積分の基本定理を用いると $$\displaystyle f_n(x)-f_n(0)=\int_0^x f_n'(t)\,dt =n\int_0^x f_{n-1}(t)\,dt.$$ $f_n(0)=a_n$より求める等式を得る。

(2) 数学的帰納法で示す。$n=1$では$f_1'(x)=f_0(x)=1$だから、$\displaystyle f_1(x)=x+a_1=\binom10x+\binom11a_1$で成立する。 $n-1$で $$\displaystyle f_{n-1}(t)=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}a_k t^{n-1-k}$$ が成り立つと仮定する（$a_0=1$）。(1)に代入して $$\displaystyle \begin{aligned} f_n(x) &=n\sum\limits _{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}a_k \int_0^x t^{n-1-k}\,dt+a_n\\ &=\sum\limits _{k=0}^{n-1} \frac{n}{n-k}\binom{n-1}{k}a_kx^{n-k}+a_n\\ &=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a_kx^{n-k} +\binom{n}{n}a_n =\sum\limits _{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_kx^{n-k}, \end{aligned}$$ ここで$\displaystyle \frac{n}{n-k}\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$を用いた。従ってすべての$n\ge1$で成立する。

(3) $\displaystyle F(x)=\int_0^x f_{n-1}(t)\,dt$とおく。(1)を0から1まで積分し、部分積分を行うと $$\displaystyle \begin{aligned} 0=\int_0^1 f_n(x)\,dx &=n\int_0^1F(x)\,dx+a_n\\ &=n\left(F(1)-\int_0^1x f_{n-1}(x)\,dx\right)+a_n\\ &=n\left(\int_0^1f_{n-1}(x)\,dx-\int_0^1x f_{n-1}(x)\,dx\right)+a_n. \end{aligned}$$ $n\ge2$なので条件(iii)を$n-1$にも適用でき、$\displaystyle \int_0^1f_{n-1}(x)\,dx=0$。よって $$\displaystyle 0=-n\int_0^1x f_{n-1}(x)\,dx+a_n,$$ すなわち$\displaystyle a_n=n\int_0^1x f_{n-1}(x)\,dx$である。