3鹿児島大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) 部分積分をすると $$\displaystyle \int_0^x(x-t)e^t\,dt =\left[(x-t)e^t\right]_0^x+\int_0^x e^t\,dt =-x+e^x-1.$$ 従って $$\displaystyle e^x=1+x+\int_0^x(x-t)e^t\,dt.$$

(2) $\displaystyle I_n=\int_0^x(x-t)^ne^t\,dt$ とおく。$n=1$ では (1) の等式と一致する。帰納法の段階として $n\ge1$ とし、部分積分により $$I_{n+1} =\left[(x-t)^{n+1}e^t\right]_0^x+(n+1)I_n =-x^{n+1}+(n+1)I_n.$$ 従って $\displaystyle \dfrac{I_{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{I_n}{n!}-\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ であり、$n$ の式から $n+1$ の式が得られる。よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で $$\displaystyle e^x=1+\sum\limits _{p=1}^{n}\frac{x^p}{p!}+\frac{I_n}{n!} =1+\sum\limits _{p=1}^{n}\frac{x^p}{p!} +\frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^ne^t\,dt$$ が成り立つ。自然数に $0$ を含める場合も、$n=0$ は $\displaystyle e^x=1+\int_0^x e^t\,dt$ で成り立つ。

(3) $x>0$ とする。正の整数 $n$ では $(x-t)^ne^t>0$ が $0\le t<x$ で成り立つため $$\displaystyle \int_0^x(x-t)^ne^t\,dt>0.$$ (2) の式でこの積分項を移項すれば $$\displaystyle e^x>1+\sum\limits _{p=1}^{n}\frac{x^p}{p!}.$$ $n=0$ も自然数に含める場合は、$\displaystyle e^x=1+\int_0^x e^t\,dt>1$ である。