2鹿児島大学 2008年 数学 第2問解答・解説

Classification: PASS. This is a source-based quality supplement for adopted answer A148, not a claim of a fresh blind independent answer. The answer body and conclusions are correct and require no change.

(1) 二次関数を求める $f(x)=Ax^2+Bx+C$ とおく。$f(0)=0$ より $C=0$。残る二つの条件から $$A+B=3a,\qquad A-B=3a$$ なので、$A=3a,\ B=0$。よって $f(x)=3ax^2$。$a\ne0$ より、これは二次関数である。

(2) 接する条件 積分すると $$\displaystyle g(x)=ax^3+\frac4a,\qquad g'(x)=3ax^2.$$ 接点の $x$ 座標を $u$ とする。傾きが等しく、接点が $y=3x+2$ 上にある条件は $$\displaystyle 3au^2=3,\qquad au^3+\frac4a=3u+2.$$ 第1式から $au^2=1$、従って $u\ne0$。第2式に $au^3=u$ を用いると $u=2/a-1$ となる。これを代入して $$\displaystyle a\left(\frac2a-1\right)^2=1 \quad\text{すなわち}\quad (2-a)^2=a \quad\text{すなわち}\quad (a-1)(a-4)=0.$$ よって $a=1$ または $a=4$ であり、接点はそれぞれ $$\displaystyle a=1:\quad u=1,\ (u,3u+2)=(1,5);\qquad a=4:\quad u=-\frac12,\ (u,3u+2)=\left(-\frac12,\frac12\right).$$ どちらも $g'(u)=3$ と $g(u)=3u+2$ を満たす。接する条件を満たす0でない定数 $a$ はこれ以外にない。

Disposition The adopted candidates are $f(x)=3ax^2$, and $a=1$ at $(1,5)$ or $a=4$ at $(-1/2,1/2)$. The source and A148 agree. No conditional issue or unresolved mathematical issue was identified. The scanned source page was visually inspected. The adopted answer body and display tags are retained.