4鹿児島大学 2008年 数学 第4問解答・解説

Aを原点とする位置ベクトルで考える。四角形ABCDであるから、$\vec b$ と $\vec d$ は一次独立である。また、$\overrightarrow{AB}$=$\vec b$、$\overrightarrow{AD}$=$\vec d$、$\overrightarrow{AC}$=$\displaystyle \frac{4}{5}$$\vec b$+$\displaystyle \frac{3}{5}$$\vec d$ である。

(1) Eは直線AB上にあるから、$\overrightarrow{AE}$=t$\vec b$ とおける。一方、Eは直線DC上にもある。$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$=$\displaystyle \frac{4}{5}$$\vec b$-$\displaystyle \frac{2}{5}$$\vec d$ より、ある実数sを用いて $$\displaystyle \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+s\overrightarrow{DC}=\frac{4s}{5}\vec b+\left(1-\frac{2s}{5}\right)\vec d.$$ Eが直線AB上にあることから $\vec d$ の係数は0であり、1-$\displaystyle \frac{2s}{5}$=0、すなわち s=$\displaystyle \frac{5}{2}$ である。したがって $\overrightarrow{AE}$=2$\vec b$ となる。

次に、$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=-$\displaystyle \frac{1}{5}$$\vec b$+$\displaystyle \frac{3}{5}$$\vec d$ である。Fは直線AD上にあるから $\overrightarrow{AF}$=u$\vec d$ とおける。またFは直線BC上にあるので、ある実数vを用いて $$\displaystyle \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{BC}=\left(1-\frac{v}{5}\right)\vec b+\frac{3v}{5}\vec d.$$ Fが直線AD上にあることから $\vec b$ の係数は0であり、1-$\displaystyle \frac{v}{5}$=0、すなわち v=5 である。よって $\overrightarrow{AF}$=3$\vec d$ となる。

(2) Q、RはそれぞれBD、EFの中点だから、 $$\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}(\vec b+\vec d),\qquad \overrightarrow{AR}=\frac{1}{2}(2\vec b+3\vec d)=\vec b+\frac{3}{2}\vec d.$$ したがって、 $$\displaystyle \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\vec b+\vec d.$$

(3) PはACの中点だから、 $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{5}\vec b+\frac{3}{10}\vec d.$$ よって、 $$\displaystyle \overrightarrow{QP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ}=-\frac{1}{10}\vec b-\frac{1}{5}\vec d=-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\vec b+\vec d\right)=-\frac{1}{5}\overrightarrow{QR}.$$ $\overrightarrow{QP}$ は $\overrightarrow{QR}$ の実数倍であるから、3点 P,Q,R は同一直線上にある。