3京都大学 2008年 数学 第3問解答・解説

Oを原点とし、各直線 $\ell_i$ の方向ベクトルを $\vec{u}_i\ (i=1,2,3,4)$ とする。$\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$ は同一平面上にないから $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ は一次独立であり、空間の基底となる。よって $\vec{u}_4=a\vec{u}_1+b\vec{u}_2+c\vec{u}_3$ と一意に表せる。もし $a=0$ なら $\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4$ は同一平面内にあり、仮定に反する。同様に $b,c\ne0$ である。 $P_1=a\vec{u}_1,\quad P_2=b\vec{u}_2,\quad P_3=-c\vec{u}_3,\quad P_4=\vec{u}_4$ と定める。係数 a,b,c はすべて0でないので、各 $P_i$ は $O$ と異なり、$P_i$ は直線$\ell_i$上にある。また、 $P_1+P_2=a\vec{u}_1+b\vec{u}_2=-c\vec{u}_3+\vec{u}_4=P_3+P_4$. $P_1,P_2,P_3$ の位置ベクトルは、一次独立な $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ のそれぞれを0でない数倍したものなので一次独立である。したがって3点 $P_1,P_2,P_3$ は非共線であり、その平面 $H$ は $O$ を含まない。さらに $P_4-P_3=(P_1-P_3)+(P_2-P_3)$ と表せるので、$P_4$ も $H$ 上にある。 $P_1+P_2=P_3+P_4$ より、線分 $P_1P_2$ と $P_3P_4$ は同じ中点をもつ。四角形 $P_1P_3P_2P_4$ の対角線はこの2線分であるため、対角線が互いに二等分し合う。よって $P_1P_3P_2P_4$ は平行四辺形である。平面 $H$ は $O$ を含まず、各 $\ell_i$ 上に $P_i\ne O$ を含むので、条件を満たす平面である。