4京都大学 2008年 数学 第4問解答・解説

原文・対象 固定PDF p.3の大問4。$a$ は実数、$y=|x^2-2|$ と $y=|2x^2+ax-1|$のグラフの共有点数を分類する。

点検した論証 $f=x^2-2,\ g=2x^2+ax-1$とおくと、共有点のx座標は $|f|=|g|$、すなわち$f-g=0$ または $f+g=0$の根の和集合。二式は $x^2+ax+1=0$ と $3x^2+ax-3=0$。

第1式の判別式は$a^2-4$なので、実根数は $|a|<2$ で0、$|a|=2$ で重根1、$|a|>2$ で2。第2式の判別式は$a^2+36>0$で常に異なる2実根。

共通根なら第2式−3×第1式から $ax=-3$。これを第1式に入れると$x^2=2$、ゆえに重複する根があるのは $\displaystyle (x,a)=(\sqrt2,-\frac3{\sqrt2}),\ (-\sqrt2,\frac3{\sqrt2})$ の場合のみ。したがって $|a|<2$ で2点、$a=\pm2$ で3点、$|a|>2$ かつ $\displaystyle a=\pm\frac3{\sqrt2}$ で3点、その他の $|a|>2$ で4点。各xでyは一意だからxの根集合数が共有点数に一致する。

分類 - 単元: 二次方程式、二次関数、絶対値関数。 - 方法: 絶対値の等式を二式に分解、判別式、共通根の差し引き。 - テーマ: パラメータに応じて二曲線の共有点を数える。

対象・入力記録

表示修復記録

前版の数式が数式モード外に出ていた箇所をインライン・別行数式に整形し、本文と式を読み分けられるようにした。数学的主張・計算・結論は変更していない。修復前ファイルは `history/transfer08-display-repair-20261001/MM-8d23bfd385ff-Q4/` に保存した。