15自治医科大学 2009年 数学 第15問解答・解説

点 $(2,2)$ を通る垂直でない直線を、傾きを $m$ として $y=m(x-2)+2$ と表す。垂直線 $x=2$ は放物線と1点でしか交わらないため、条件を満たす直線はこの形で尽くされる。放物線 $y=(x-1)^2$ との交点の $x$ 座標は $$(x-1)^2=m(x-2)+2, \qquad x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$$ の2解 $x_1,x_2$ である。この二次方程式の判別式は $$D=(m+2)^2-4(2m-1)=(m-2)^2+4>0$$ なので、どの実数 $m$ に対しても異なる2交点をもつ。点 $A,B$ は各交点から $x$ 軸へ下ろした垂線の足だから、$AB=|x_1-x_2|$ である。解の公式から、2解の差の絶対値は判別式の平方根に等しく、 $$AB=\sqrt{D}=\sqrt{(m-2)^2+4}\geq2.$$ $m=2$ のとき等号が成り立ち、この場合の交点の $x$ 座標は $1,3$ で実際に異なる2点となる。従って線分 $AB$ の最小値は $2$ である。