6自治医科大学 2009年 数学 第6問解答・解説

定点 $(a,b)$ は、どの $k$ に対しても直線上にある。したがって、$$\begin{aligned}(3k+1)a+(4k-3)b+6k+2&=k(3a+4b+6)+(a-3b+2)=0\end{aligned}$$ が $k$ の恒等式となる。よって、$k$ の係数と定数項はそれぞれ $0$ であり、$$3a+4b+6=0,\qquad a-3b+2=0.$$ 第2式から $a=3b-2$ なので、これを第1式に代入すると $3(3b-2)+4b+6=13b=0$ を得る。したがって $b=0$ である。実際、$a=-2$, $b=0$ とすると、もとの左辺は $-2(3k+1)+6k+2=0$ となり、任意の $k$ で直線上にあることも確かめられる。よって答えは $b=0$（選択肢ア）である。