23自治医科大学 2009年 数学 第23問解答・解説

$(t=x-2)$ とおくと $$(x-1)(x-2)(x-3)=(t+1)t(t-1)=t^{3}-t$$ である。よって方程式は $(t^{3}-t=k)$ となる。左辺を $(g(t)=t^{3}-t)$ とすると $$\displaystyle g'(t)=3t^{2}-1=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad t=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.$$ 導関数の符号は $(t=-1/\sqrt{3})$ の前後で正から負へ、$(t=1/\sqrt{3})$ の前後で負から正へ変わる。したがって $$\displaystyle g\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{3\sqrt{3}},\qquad g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$$ はそれぞれ極大値、極小値である。水平線 $(y=k)$ がこの三次関数のグラフと異なる三点で交わるのは、極小値と極大値の間にあるときに限る。ゆえに $$\displaystyle m=-\frac{2}{3\sqrt{3}},\qquad M=\frac{2}{3\sqrt{3}}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{27}{2}|mM|=\frac{27}{2}\left| -\frac{4}{27}\right|=2.$$