7自治医科大学 2009年 数学 第7問解答・解説

点 $P$ から見た左向きの $x$ 軸と $PA,PB$ のなす鋭角をそれぞれ $\alpha,\beta$ とする。$a>0$ より $\tan\alpha=2/a$, $\tan\beta=8/a$ であり、$0<\alpha<\beta<\pi/2$ だから $\angle APB=\beta-\alpha$ である。加法定理から、$$\displaystyle \tan\angle APB=\tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha}=\frac{6/a}{1+16/a^2}=\frac{6a}{a^2+16}.$$ ここで $a^2+16-8a=(a-4)^2\geq 0$ より $a^2+16\geq 8a$ である。$a>0$ なので、$$\displaystyle \tan\angle APB=\frac{6a}{a^2+16}\leq\frac{6a}{8a}=\frac{3}{4},$$ 等号は $a=4$ のときに限って成り立つ。$\angle APB$ は $(0,\pi/2)$ にあり、この範囲で正接は増加するから、角が最大となるのは $a=4$ のときである。よって答えは $a=4$（選択肢ナ）である。