自治医科大学 2009年数学第21問解答・解説

いろいろな式

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1問題

自治医科大学2009年度第21問

3次方程式 $x^{3}+x^{2}+(k+1)x-k-3=0$ （ただし $k$ は整数）は実数解を1個だけもつとする。整数 $k$ の最小値を $m$ とするとき， $|m|$ の値を求めよ。

選択肢：ア $0$ ，カ $1$ ，サ $2$ ，タ $3$ ，ナ $4$ ，ハ $5$ ，マ $6$ ，ヤ $7$ ，ラ $8$ ，ワ $9$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

既知の根 x=1 で因数分解し、残る二次方程式の判別式で実数解の個数を判定する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$|m|=1$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

左辺に (x=1) を代入すると (1+1+(k+1)-k-3=0) である。したがって $x^{3}+x^{2}+(k+1)x-k-3=(x-1)(x^{2}+2x+k+3)$ と因数分解できる。二次因子の判別式は $D=2^{2}-4(k+3)=-4(k+2)$ である。(D<0) なら二次因子は実数解をもたず、元の方程式の実数解は (x=1) だけである。一方、(D=0) なら二次因子の重解は (x=-1) であり、(x=1) とは異なる。(D>0) なら二次因子は異なる二つの実数解をもち、そのうち少なくとも一つは (x=1) と異なる。よって実数解がただ一つとなる条件は (D<0)、すなわち (k>-2) である。 (k) は整数だから最小値は (m=-1)。したがって (|m|=1)。

この問題で使う考え方

二次方程式の判別式
高次方程式

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