3自治医科大学 2009年 数学 第3問解答・解説

百の位は、整数を1000で割った余りの百の位で決まる。二項定理を用いて $$\displaystyle 1201^{124}=(1+1200)^{124}=1+124\cdot1200+\sum\limits _{k=2}^{124}\binom{124}{k}1200^k$$ と展開する。$k\ge2$ ならば $1200^k$ は $1200^2=1{,}440{,}000=1440\cdot1000$ を因数にもつので、後ろの和は1000の倍数である。したがって $$1201^{124}\equiv 1+124\cdot1200=148801\equiv801\pmod{1000}.$$ よって下三桁は801であり、百の位の数値は8、選択肢はラである。

検算として $1201\equiv201\pmod{1000}$ から繰り返し平方すると $$201^2\equiv401,\quad 201^4\equiv801,\quad 201^8\equiv601,\quad 201^{16}\equiv201,\quad 201^{32}\equiv401,\quad 201^{64}\equiv801\pmod{1000}.$$ ここで $124=64+32+16+8+4$ だから、$201^{124}\equiv801\cdot401\cdot201\cdot601\cdot801\equiv801\pmod{1000}$ となり、同じ下三桁を得る。