5自治医科大学 2009年 数学 第5問解答・解説

二つの整数解を $r,s$ とする。解と係数の関係から $$r+s=k,\qquad rs=4k.$$ よって $$(r-4)(s-4)=rs-4(r+s)+16=4k-4k+16=16.$$ $a=r-4,\;b=s-4$ とおけば $ab=16$ であり、$k=r+s=a+b+8$ である。$ab=16$ となる整数の組は、順序を除けば $$(a,b)=(1,16),(2,8),(4,4),(-1,-16),(-2,-8),(-4,-4)$$ に限られる。それぞれから得られる $k$ は $$25,\quad18,\quad16,\quad-9,\quad-2,\quad0$$ だから、整数 $k$ の最小値は $m=-9$ である。実際 $k=-9$ のとき方程式は $x^2+9x-36=(x-3)(x+12)=0$ となり、二つの整数解 $3,-12$ をもつ。したがって $\left|m\right|=9$ であり、選択肢はワである。