11自治医科大学 2009年 数学 第11問解答・解説

平行四辺形の対角線 $BD$ はこれを合同な三角形 $ABD$ と $CDB$ に分ける。ここで $AD=BC=7$ であり、三角形 $ABD$ の三辺は $AB=5,\ AD=7,\ BD=8$ である。$\angle BAD=\theta$ とおくと、余弦定理より $$\displaystyle \cos\theta=\frac{AB^2+AD^2-BD^2}{2\,AB\cdot AD} =\frac{25+49-64}{70}=\frac17.$$ 三角形の内角なので $0<\theta<\pi$ であり、$\sin\theta>0$。したがって $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} =\sqrt{1-\frac1{49}}=\frac{4\sqrt3}{7}.$$ 平行四辺形の面積は隣り合う辺とその間の角を用いて $$\displaystyle S=AB\cdot AD\sin\theta=5\cdot7\cdot\frac{4\sqrt3}{7}=20\sqrt3.$$ よって $$\displaystyle \frac{S^2}{200}=\frac{(20\sqrt3)^2}{200}=\frac{1200}{200}=6.$$ 以上より、求める値は $6$（選択肢マ）である。