近畿大学／2012年度／一般前期

近畿大学 2012年数学第2問解答・解説

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1問題

近畿大学2012年度第2問

$\angle A=30^{\circ}$ ， $AB=AC=4$ をみたす $\triangle ABC$ において，点 $C$ を点 $P_{1}$ として， $\triangle P_{1}Q_{1}P_{2}$ が正三角形になるように，辺 $AB$ 上に点 $Q_{1}$ ，辺 $AC$ 上に点 $P_{2}$ をとる。

次に，図のように， $\triangle P_{2}Q_{2}P_{3}$ が正三角形になるように，辺 $AB$ 上に点 $Q_{2}$ ，辺 $AC$ 上に点 $P_{3}$ をとる。以下同様にして， $\triangle P_{n}Q_{n}P_{n+1}$ が正三角形になるように，辺 $AB$ 上に点 $Q_{n}$ ，辺 $AC$ 上に点 $P_{n+1}$ をとる。 $(n=1,2,3,\ldots)$

$\triangle P_{n}Q_{n}P_{n+1}$ の面積を $S_{n}$ ， $\triangle Q_{n}P_{n+1}Q_{n+1}$ の面積を $T_{n}$ とする。

細長い三角形ABCの図で、上をA、左下をB、右下をC=P₁と記す。左辺に下からQ₁、Q₂、Q₃、Q₄、右辺に下からP₂、P₃、P₄を置き、左右の辺の点を交互に結ぶ線分で内部を三角形に分ける。下から右側にS₁、S₂、S₃、左側にT₁、T₂、T₃を表示し、頂点A付近にも短い線分が続く。

(1) $BC$ と $P_{1}P_{2}$ の長さを，二重根号を用いない形で求めよ。

(2) $S_{1},T_{1}$ の値を求めよ。

(3) $S_{n}$ を $n$ を用いて表せ。また， $\displaystyle S_{n}<\frac{1}{1000}$ をみたす最小の $n$ の値を求めよ。

(4) $T_{n}$ を $n$ を用いて表せ。また，和 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{5}T_{n}$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

正三角形の配置からできる30°・120°・30°の三角形を繰り返し用い、辺長を半分ずつにする漸化関係を導く。正弦定理と三角形の面積公式から各面積を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad BC=2\sqrt6-2\sqrt2,\quad P_1P_2=2.\qquad$ (2) $\displaystyle \quad S_1=\sqrt3,\quad T_1=\frac{\sqrt3}{2}.\qquad$ (3) $\displaystyle \quad S_n=\frac{\sqrt3}{4^{n-1}},\quad S_n<\frac1{1000}$ をみたす最小の $n=7.\qquad$ (4) $\displaystyle \quad T_n=\frac{2\sqrt3}{4^n},\quad \sum\limits _{n=1}^{5}T_n=\frac{341\sqrt3}{512}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 余弦定理より $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos30^{\circ}=32-16\sqrt3.$ ここで $\bigl(2\sqrt6-2\sqrt2\bigr)^2=32-16\sqrt3$ であり、 $2\sqrt6-2\sqrt2>0$ だから $BC=2\sqrt6-2\sqrt2.$ また、正三角形 $P_1Q_1P_2$ と図の配置から、三角形 $AQ_1P_2$ の角は $30^{\circ},120^{\circ},30^{\circ}$ である。よって $AP_2=Q_1P_2=P_1P_2$ 。さらに $AC=AP_2+P_2C=4$ で、 $P_2C=P_1P_2$ だから $AP_2=P_2C=2$ 、従って $P_1P_2=2$ 。

(2) 正三角形の面積公式から $\displaystyle S_1=\frac{\sqrt3}{4}(P_1P_2)^2=\sqrt3.$ 三角形 $AQ_1P_2$ に正弦定理を使うと $AQ_1/P_2Q_1=\sin120^{\circ}/\sin30^{\circ}=\sqrt3$ なので、 $P_2Q_1=2$ より $AQ_1=2\sqrt3$ 。また、三角形 $AQ_2P_3$ も角が $30^{\circ},120^{\circ},30^{\circ}$ であるから $AP_3=P_2P_3$ 。従って $AP_2=AP_3+P_2P_3=2AP_3$ より $AP_3=1$ となり、正弦定理から $AQ_2=\sqrt3$ 。よって $Q_1Q_2=\sqrt3$ 。さらに、 $P_2$ から $AB$ への高さは $AP_2\sin30^{\circ}=1$ である。したがって $\displaystyle T_1=\frac12\cdot Q_1Q_2\cdot 1=\frac{\sqrt3}{2}.$

(3) $d_n=P_nP_{n+1}$ とおく。図の配置では $A,P_{n+1},P_n$ の順に $AC$ 上に並ぶ。三角形 $AQ_nP_{n+1}$ の角は、頂点 $A$ で $30^{\circ}$ 、頂点 $P_{n+1}$ で $120^{\circ}$ 、頂点 $Q_n$ で $30^{\circ}$ である。従って、等しい角に対する辺は等しく、正三角形の辺の長さも用いると $AP_{n+1}=Q_nP_{n+1}=P_nP_{n+1}=d_n.$ ゆえに $AP_n=AP_{n+1}+P_{n+1}P_n=2d_n$ であり、 $AP_{n+1}=AP_n/2$ 。 $AP_1=AC=4$ だから $\displaystyle AP_n=\frac{4}{2^{n-1}},\qquad d_n=\frac{4}{2^n}.$ したがって $\displaystyle S_n=\frac{\sqrt3}{4}d_n^2=\frac{\sqrt3}{4^{n-1}}.$ この数列は公比 $1/4$ の減少数列であり、 $1000\sqrt3>1024\quad(3{,}000{,}000>1{,}048{,}576),\qquad 1000\sqrt3<4096\quad(3{,}000{,}000<16{,}777{,}216)$ だから $S_6=\sqrt3/1024>1/1000$ 、 $S_7=\sqrt3/4096<1/1000$ 。よって条件を満たす最小の $n$ は $7$ である。

(4) 三角形 $AQ_nP_{n+1}$ に正弦定理を用いると $\displaystyle AQ_n=AP_{n+1}\frac{\sin120^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\sqrt3d_n.$ $Q_{n+1}$ は $Q_n$ より $A$ に近く、 $d_{n+1}=d_n/2$ だから $\displaystyle Q_nQ_{n+1}=AQ_n-AQ_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}d_n.$ また、 $P_{n+1}$ から $AB$ への高さは $AP_{n+1}\sin30^{\circ}=d_n/2$ である。従って $\displaystyle T_n=\frac12\cdot\frac{\sqrt3d_n}{2}\cdot\frac{d_n}{2} =\frac{\sqrt3d_n^2}{8}=\frac{2\sqrt3}{4^n}.$ よって有限等比数列の和より $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{5}T_n=2\sqrt3\sum\limits _{n=1}^{5}\frac1{4^n} =2\sqrt3\cdot\frac13\left(1-\frac1{4^5}\right) =\frac{341\sqrt3}{512}.$

この問題で使う考え方

余弦定理
正弦定理
三角比による面積
三角形の性質
等比数列の一般項と和
総和記号と数列の和

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