3山口大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) 半周長を $s$、面積を $K$ とすると、$s=7$ であり、$\displaystyle K=rs=7\cdot\frac{2\sqrt{14}}7=2\sqrt{14}$ である。　 (2) 正弦定理より $a=2R\sin A$、$c=2R\sin C$ だから、$\displaystyle a+c=2R(\sin A+\sin C)=2\cdot\frac{45\sqrt{14}}{56}\cdot\frac{2\sqrt{14}}5=9$。よって $b=14-(a+c)=5$。　 (3) $\displaystyle K=\frac12 ab\sin C$ と余弦定理から$$16K^2=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(a+b-c)(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)=16s(s-a)(s-b)(s-c)$$を得る。したがって $K^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$。ここで $x=7-a$、$z=7-c$ とおくと、$x+z=14-(a+c)=5$、$s-b=2$ なので、$56=K^2=14xz$、すなわち $xz=4$。よって $x,z$ は $t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=0$ の2根であり、$\{a,c\}=\{6,3\}$ である。正弦定理と $\sin A>\sin C$ より $a>c$ だから、$a=6$、$c=3$。　 (4) 頂点 $C$ から円に引いた接線の長さは等しい。各頂点からの接線の長さを用いると、$CD=CE=s-c=7-3=4$ である。また $\angle DCE=C$ であり、余弦定理より $\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{36+25-9}{60}=\frac{13}{15}$。三角形 $CDE$ に余弦定理を用いて$$\displaystyle DE^2=4^2+4^2-2\cdot4\cdot4\cdot\frac{13}{15}=\frac{64}{15}$$となる。したがって $\displaystyle DE=\frac{8\sqrt{15}}{15}$。