4山口大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$$\begin{aligned} f(x)+g(x)&=e^{-x}(\sin x+\cos x),\\ (f(x)+g(x))'&=-e^{-x}(\sin x+\cos x)+e^{-x}(\cos x-\sin x)\\ &=-2e^{-x}\sin x. \end{aligned}$$ したがって、$\displaystyle \left(-\frac12(f(x)+g(x))\right)'=f(x)$ である。また、$\displaystyle \sin\frac{3\pi}{4}+\cos\frac{3\pi}{4}=0$ より $$\displaystyle F(x)=-\frac12(f(x)+g(x))=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x).$$

$0<t<\pi$ では $f(t)>0$ である。曲線上の点 $(t,F(t))$ における接線は $$y=F(t)+f(t)(x-t)$$ だから、これが $(a,0)$ を通る条件は $$\displaystyle F(t)+f(t)(a-t)=0 \text{であるための必要十分条件は} a=t+\frac{f(t)+g(t)}{2f(t)} =t+\frac12\left(1+\frac{\cos t}{\sin t}\right)=:H(t).$$ よって接点の個数は $H(t)=a$ の解の個数である。微分すると $$\displaystyle H'(t)=1-\frac{1}{2\sin^2t}.$$ これは $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{4}$ または $\displaystyle \frac{3\pi}{4}<t<\pi$ のとき負、$\displaystyle \frac{\pi}{4}<t<\frac{3\pi}{4}$ のとき正であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}H(t)=+\infty,\quad H\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\frac{\pi}{4},\quad H\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{3\pi}{4},\quad \lim\limits _{t\to\pi-}H(t)=-\infty.$$ ここで $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}$ である。したがって、$a$ が $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}$ より小さいとき、または $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ より大きいときは解が1個、$\displaystyle a=1+\frac{\pi}{4}$ または $\displaystyle a=\frac{3\pi}{4}$ のときは解がそれぞれ2個、$\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}<a<\frac{3\pi}{4}$ のときは解が3個である（隣り合う区間の端の解は同じ接点として数える）。

なお、異なる接点が同じ接線を与えることはない。実際、$f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$ より、$f(x)$ は $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{4}$ で増加し、$\displaystyle \frac{\pi}{4}<x<\pi$ で減少する。もし $t_1<t_2$ における接線が同一なら、その傾き $m=f(t_1)=f(t_2)$ は等しく、増減から $\displaystyle t_1<\frac{\pi}{4}<t_2$ かつ $f(t)>m\ (t_1<t<t_2)$ となる。一方、$D(t)=F(t)-m(t-a)$ とおけば $D'(t)=f(t)-m>0$ なので $D(t_2)>D(t_1)$ となり、両点で同じ接線上にあることに矛盾する。したがって、上の接点数がそのまま接線の本数である。

f+gを微分すると−2fとなり、積分定数は基準点3π/4でf+g=0となることからF=−(f+g)/2。接線が(a,0)を通る条件を接点tで表すと$\displaystyle a=H(t)=t+\frac{1+\cot t}{2}$となる。Hの増減と臨界点での値から解数を数え、同じ直線が二つの接点で重複しないことはfの単峰性で確認する。