IV横浜市立大学 2024年 数学 第IV問解答・解説

(1) $\cos x\ne 0$ のとき、商の微分法と $\sin^2x+\cos^2x=1$ より、$$\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}.$$

(2) $D=x\sin x+\cos x$ とおくと、$$D'=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x.$$したがって、$D\ne 0$ のとき、$$\displaystyle \frac{d}{dx}\frac{1}{x\sin x+\cos x}=-\frac{D'}{D^2}=-\frac{x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}.$$

(3) $D=x\sin x+\cos x$、$N=\sin x-x\cos x$ とおくと、$D\ne 0$ のとき$$D'=x\cos x,\qquad N'=x\sin x.$$よって商の微分法から$$\displaystyle \left(\frac{N}{D}\right)'=\frac{x\sin x(x\sin x+\cos x)-(\sin x-x\cos x)x\cos x}{(x\sin x+\cos x)^2}=\frac{x^2(\sin^2x+\cos^2x)}{(x\sin x+\cos x)^2}=\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}.$$したがって、求める不定積分は$$\displaystyle \int\frac{x^2}{(x\sin x+\cos x)^2}\,dx=\frac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x}+C$$である。いずれも、分母が0でない区間で考える。