4神戸大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle P(x)=\int_a^x f(t)\cos t\,dt,\quad Q(x)=\int_a^x f(t)\sin t\,dt$ とおく。加法定理 $\sin(x-t)=\sin x\cos t-\cos x\sin t$ から $$g(x)=\sin x\,P(x)-\cos x\,Q(x).$$ $f$ の連続性と微積分の基本定理より $P'(x)=f(x)\cos x,\ Q'(x)=f(x)\sin x$ である。したがって積の微分法と $\cos(x-t)=\cos x\cos t+\sin x\sin t$ より $$\displaystyle \begin{aligned} g'(x)&=\cos x\,P(x)+\sin x\,P'(x)+\sin x\,Q(x)-\cos x\,Q'(x)\\ &=\cos x\,P(x)+\sin x\,Q(x)=\int_a^x f(t)\cos(x-t)\,dt. \end{aligned}$$ よって $x=a$ とすれば $g'(a)=0$。

(2) 上の式を微分し、$P'=f\cos x,\ Q'=f\sin x$ を用いると $$\begin{aligned} g''(x)&=-\sin x\,P(x)+\cos x\,P'(x)+\cos x\,Q(x)+\sin x\,Q'(x)\\ &=-\sin x\,P(x)+\cos x\,Q(x)+f(x)\\ &=f(x)-\{\sin x\,P(x)-\cos x\,Q(x)\}=f(x)-g(x). \end{aligned}$$

(3) $h(x)=\sin x-\sin^2x$ とおく。まず必要性を示す。$g(x)=h(x)$ ならば、定義と(1)より $$h(a)=g(a)=0,\qquad h'(a)=g'(a)=0.$$ $h(a)=0$ と $0\le a\le\pi$ より、$\displaystyle a=0,\frac{\pi}{2},\pi$ が候補である。また $$\displaystyle h'(x)=\cos x(1-2\sin x),\quad h'(0)=1,\quad h'(\pi)=-1,\quad h'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,$$ したがって $\displaystyle a=\frac{\pi}{2}$ である。(2)より $f(x)=g''(x)+g(x)=h''(x)+h(x)$。ここで $$\begin{aligned} h''(x)&=-\sin x-2(\cos^2x-\sin^2x),\\ h''(x)+h(x)&=\sin^2x-2\cos^2x.\end{aligned}$$

次に十分性を示す。$\displaystyle a=\frac{\pi}{2}$、$f(x)=\sin^2x-2\cos^2x$ とする。上の計算から $f=h''+h$ であり、$\displaystyle h\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=h'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ である。部分積分して $$\displaystyle \begin{aligned} g(x)&=\int_a^x\{h''(t)+h(t)\}\sin(x-t)\,dt\\ &=\left[h'(t)\sin(x-t)+h(t)\cos(x-t)\right]_a^x\\ &=h(x)-h'(a)\sin(x-a)-h(a)\cos(x-a)=h(x). \end{aligned}$$ ゆえに $g(x)=\sin x-\sin^2x$ が成り立ち、必要十分性が示された。