5神戸大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) 二次方程式の解は、判別式 $-4r^2$ より $$\displaystyle \alpha=\frac{1\pm ir}{1+r^2}.$$ 実部・虚部を $x=1/(1+r^2)$、$y=\pm r/(1+r^2)$ とすると $$\displaystyle \left(x-\frac12\right)^2+y^2 =\frac{(1-r^2)^2/4+r^2}{(1+r^2)^2}=\frac14.$$ よってすべての $r>0$ でAは中心 $1/2$、半径 $1/2$ の円周上にあり、条件の円Cが存在する。

(2) $B=1,\ O=0$なので底辺OBの長さは1、Aから実軸までの距離は $|\operatorname{Im}\alpha|=r/(1+r^2)$。従って面積は $$\displaystyle q(r)=\frac{r}{2(1+r^2)}.$$ $r=te^{-t}$ は $r'(t)=e^{-t}(1-t)$ より$t=1$で最大値$\displaystyle \frac1e$をとる。さらに $$\displaystyle q'(r)=\frac{1-r^2}{2(1+r^2)^2}>0\qquad(0<r\le1/e<1).$$ 面積はこの範囲でrとともに増えるため、最大は$t=1$で達成され、その値は $$\displaystyle q(1/e)=\frac{e}{2(e^2+1)}.$$