3神戸大学 2026年 数学 第3問解答・解説

整数 $a,b$ に対し $z=a+bi$ とおくと，$z^2=(a^2-b^2)+2abi$ である。したがって $$|z^2|=\sqrt{(a^2-b^2)^2+(2ab)^2}=\sqrt{(a^2+b^2)^2}=a^2+b^2$$ となる。最後の等号では $a^2+b^2$$\ge0$ を用いた。よって，性質 P をみたす整数は，二つの整数の平方の和で表される整数である。

(1) $a,b$ の符号を平方で取り除き，さらに入れ替えて $0\le a\le b$ としてよい。$a^2+b^2<40$ より $b\le6$ であり，$b\le3$ なら $a^2+b^2\le18$ だから該当しない。$b=4$ のとき，$a=0,1,2,3,4$ に対して平方和は $16,17,20,25,32$ であり，範囲に入るのは $32$ である。$b=5$ のとき平方和は $25,26,29,34,41$ であり，範囲に入るのは $34$ である。$b=6$ のとき $a^2+36<40$ から $a=0,1$ となり，平方和は $36,37$ である。以上より求める整数は $32,34,36,37$ である。

(2) 性質 P をみたす整数を $m_1,m_2$ とし，$m_1=a^2+b^2$，$m_2=c^2+d^2$（$a,b,c,d$ は整数）とおく。複素数 $w=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ は実部・虚部がともに整数である。また， $$(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=m_1m_2$$ である。上の平方和の関係から $|w^2|=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=m_1m_2$ となるので，$m_1m_2$ は性質 P をみたす。

(3) 性質 P をみたすと仮定し，$m=a^2+b^2$（$a,b$ は整数）と表す。整数の平方を4で割った余りは0または1であるから，$a^2+b^2$ を4で割った余りは0,1,2のいずれかである。これは $m$ を4で割った余りが3であることに矛盾する。したがって，そのような整数 $m$ は性質 P をみたさない。