III日本医科大学 2026年 数学 第III問解答・解説

日本医科大学 2026年度 数学（前期）III

問題 ID: `MM-30d563adf1c3-Q3`

問1 接線 $L$

$C_1:y=1/x$ の導関数は $-1/x^2$ なので、$P(t,1/t)$ における傾きは $-1/t^2$（$t>0$）。点傾きの式から $$\displaystyle y-\frac1t=-\frac1{t^2}(x-t), \qquad \boxed{L:\ y=-\frac{x}{t^2}+\frac2t}.$$

問2 垂線の足 $H(x(t),y(t))$

直線を $$\displaystyle \frac{x}{t^2}+y-\frac2t=0$$ と書く。その法線ベクトルは $(1/t^2,1)$ であり、原点からの垂線の足はこのベクトルの定数倍である。$H=\lambda(1/t^2,1)$ とおいて直線上にある条件を使うと $$\displaystyle \lambda\left(\frac1{t^4}+1\right)-\frac2t=0, \qquad \lambda=\frac{2t^3}{t^4+1}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{x(t)=\frac{2t}{t^4+1},\qquad y(t)=\frac{2t^3}{t^4+1}\quad(t>0)}.$$

問3 共有点の個数 $N(r)$

$c=1-r/\sqrt2$ とおくと、$C(r)$ の中心は $(c,c)$ である。$H(t)$ が円上にある条件は $$(x-c)^2+(y-c)^2=r^2,$$ すなわち $$(x^2+y^2)-2(x+y)+2+\sqrt2r\bigl((x+y)-2\bigr)=0.$$ ここに問2の $x,y$ を代入して整理すると $$\displaystyle \frac{2(t-1)^2}{1+t^4} \left\{(t^2+1)-\sqrt2r(t^2+t+1)\right\}=0.$$ 分母は正であり、常に $t=1$ は解（このとき $H=(1,1)$）。ほかの解は、$k=\sqrt2r$ とおけば $$(1-k)t^2-kt+(1-k)=0.$$ 条件 $0<r<\sqrt2/2$ から $0<k<1$。この二次方程式の判別式は $$\Delta=k^2-4(1-k)^2.$$ $k>0$ および $1-k>0$ より、$\Delta\ge0$ は $k\ge2(1-k)$、すなわち $k\ge2/3$ と同値である。

- $0<k<2/3$ では二次方程式に実数解がなく、$t=1$ のみ。従って $N(r)=1$。 - $k=2/3$ では二次方程式の解も $t=1$ で、共有点は依然1個。従って $N(r)=1$。 - $2/3<k<1$ では二次方程式は異なる2つの正の解をもつ（解の和と積はいずれも正）。それらは積が1で、どちらも1ではない。加えて常に解である $t=1$ があるため、異なる $t$ は3個。さらに $y(t)/x(t)=t^2$ なので異なる正の $t$ は異なる点 $H$ を与え、共有点は3個。

$k=\sqrt2r$ に戻すと $$\displaystyle \boxed{ N(r)= \begin{cases} 1,&0<r\le \dfrac{\sqrt2}{3},\\[4pt] 3,&\dfrac{\sqrt2}{3}<r<\dfrac{\sqrt2}{2}. \end{cases}}$$

**使用解法:** 接線の方程式、法線方向による垂線の足、円上にある条件をパラメータ方程式に代入し、二次方程式の判別式で場合分け。