2京都府立医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1) $P,H$ はともに $l$ 上にあり、$\vec n$ は $l$ に垂直だから $$\vec n\cdot\overrightarrow{PH}=0.$$ また、ベクトルのつなぎ方から $$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HQ}=\overrightarrow{PH}-\overrightarrow{QH}$$ である。したがって $$\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}=-\vec n\cdot\overrightarrow{QH}.$$ $\overrightarrow{QH}$ は $l$ に垂直で、$\vec n$ と平行である。$\lvert\vec n\rvert=1$ より、ある実数 $a$ を用いて $\overrightarrow{QH}=a\vec n$ と書ける（$H=Q$ の場合は $a=0$）。このとき $$\lvert\overrightarrow{QH}\rvert=|a|,\qquad \lvert\vec n\cdot\overrightarrow{QH}\rvert=|a\,\vec n\cdot\vec n|=|a|$$ だから $$\boxed{\lvert\overrightarrow{QH}\rvert=\lvert\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}\rvert}.$$

(2) $\vec v=(f'(t_0),g'(t_0))$ とおく。仮定から $\vec v\ne\vec 0$ である。$t\ne t_0$ のとき $Q\ne P$ なので、$\overrightarrow{PQ}$ は零ベクトルでない。微分係数の定義により $$\displaystyle \frac{\overrightarrow{PQ}}{t-t_0} =\left(\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0},\frac{g(t)-g(t_0)}{t-t_0}\right) \longrightarrow (f'(t_0),g'(t_0))=\vec v\qquad(t\to t_0).$$ (1) を用い、$t\ne t_0$ に対して分子・分母を $|t-t_0|$ で割ると $$\displaystyle \frac{\lvert\overrightarrow{QH}\rvert}{\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert} =\frac{\lvert\vec n\cdot\overrightarrow{PQ}\rvert}{\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert} =\frac{\left|\vec n\cdot\dfrac{\overrightarrow{PQ}}{t-t_0}\right|} {\left|\dfrac{\overrightarrow{PQ}}{t-t_0}\right|} \longrightarrow\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec v|}.$$ この分母の極限は $|\vec v|>0$ である。

媒介変数曲線の $P$ における接線の方向は $\vec v$ である。実際、$f'(t_0)\ne0$ なら、十分 $t_0$ に近い $t\ne t_0$ で $f(t)-f(t_0)\ne0$ となり、弦 $PQ$ の傾きは $$\displaystyle \frac{g(t)-g(t_0)}{f(t)-f(t_0)} \longrightarrow\frac{g'(t_0)}{f'(t_0)}$$ となる。一方、$f'(t_0)=0$ の場合は $g'(t_0)\ne0$ であり、同様に $$\displaystyle \frac{f(t)-f(t_0)}{g(t)-g(t_0)} \longrightarrow\frac{f'(t_0)}{g'(t_0)}=0$$ となるので、弦 $PQ$ の方向は鉛直方向に近づく。したがっていずれの場合も接線の方向ベクトルは $\vec v$ である。

$\vec n$ は $l$ の法線方向の単位ベクトルだから、$\vec n\cdot\vec v=0$ であることは、零ベクトルでない $\vec v$ が $l$ の方向と平行であることと同値である。よって、$l$ が接線であることと $\vec n\cdot\vec v=0$ は同値である。また $|\vec v|>0$ だから、上で得た極限値 $|\vec n\cdot\vec v|/|\vec v|$ が $0$ であることも、これと同値である。以上から、$l$ が $P$ における $C$ の接線であるための必要十分条件は $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{t\to t_0}\frac{\lvert\overrightarrow{QH}\rvert}{\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert}=0}$$ である。