2滋賀医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $f(a)=g(a)=0$ である。平均値の定理を $a\le t\le b$ の範囲でそれぞれ $f,g$ に適用すると，$a<c<b$ と $a<d<b$ を満たすある $c,d$ に対して $$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)=b-a,\qquad g(b)-g(a)=g'(d)(b-a)=0.$$ したがって，$P_b$ の座標は $(b-a,0)$ である。

(2) 与えられた式を微分すると $$\displaystyle f'(t)=\frac{e^t-e^{-t}}2,\qquad g'(t)=\frac{e^t+e^{-t}}2.$$ $\displaystyle m=\dfrac{a+b}{2}$，$\displaystyle d=\dfrac{b-a}{2}>0$ とおく。指数関数の式から $$\overrightarrow{P_aP_b}=\bigl(f(b)-f(a),g(b)-g(a)\bigr)=2\sinh d\, (\sinh m,\cosh m),\qquad \vec v=(\sinh t,\cosh t),$$ である。よって，これらの行列式は $$\sinh t\cdot 2\cosh m\sinh d-\cosh t\cdot 2\sinh m\sinh d=2\sinh d\sinh(t-m).$$ $d>0$ より $\sinh d\ne0$ だから，これが $0$ となるのは $t=m$ のときである。$a<(a+b)/2<b$ なので，求める時刻は $\displaystyle t=\dfrac{a+b}{2}$ である。この計算は $m=0$ の場合にもそのまま成り立つ。

(3) $D=\overrightarrow{P_aP_b}=(X,Y)$ とおく。仮定から $D\ne(0,0)$ である。関数 $$h(s)=X\{g(s)-g(a)\}-Y\{f(s)-f(a)\}$$ を考えると，$h$ は微分可能であり，$h(a)=0$，$h(b)=XY-YX=0$ である。ロルの定理より，$a<t<b$ を満たすある $t$ が存在して $$0=h'(t)=Xg'(t)-Yf'(t)$$ となる。これは $D$ と $\vec v=(f'(t),g'(t))$ の行列式が $0$ であることを表す。また，問題の条件から $\vec v\ne(0,0)$ である。したがって，$D$ と $\vec v$ は平行である。