1滋賀医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 直線 $y=x-a$ を楕円に代入すると $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+(x-a-1)^2=1,$$ すなわち $$5x^2-8(a+1)x+4(a^2+2a)=0.$$ 共有点がただ1つとなるのは、この二次方程式の判別式が0のときである。 $$64(a+1)^2-80(a^2+2a)=16(-a^2-2a+4)=0$$ より $$\boxed{a=-1\pm\sqrt5}.$$

(2) グラフ $y=|x-a|$ は、$x\ge a$ で $y=x-a$、$x\le a$ で $y=a-x$ である。楕円上では $y\ge0$ なので、各直線と楕円の交点は対応する半直線上にある。 直線 $y=x-a$ が楕円と2点で交わる条件は判別式が正であること、すなわち $$-1-\sqrt5<a<-1+\sqrt5.$$ $x$ を $-x$ に置き換える楕円の対称性から、直線 $y=a-x$ が2点で交わる条件は $$1-\sqrt5<a<1+\sqrt5.$$ 両方が2点で交わる範囲は $1-\sqrt5<a<\sqrt5-1$。ただし $a=0$ では2直線の共通点 $(0,0)$ が楕円上にもあるため、異なる共有点は3個になる。よって $$\boxed{1-\sqrt5<a<0\text{ または }0<a<\sqrt5-1}.$$

(3) 楕円上の点を $(x,y)=(2u,1+v)$、ただし $u^2+v^2=1$ と表す。このとき $0\le y\le2$ である。$|x-a|=w\ge0$ とおくと $$\bigl||x-a|-1\bigr|=y$$ は、$w=1+y$、または $0\le y\le1$ かつ $w=1-y$ と同値である。

まず $w=1+y$ の場合、$a=x+(1+y)$ または $a=x-(1+y)$ である。前者の範囲は $$a=2+2u+v,\qquad2-\sqrt5\le a\le2+\sqrt5,$$ 後者の範囲は $$a=-2+2u-v,\qquad-2-\sqrt5\le a\le-2+\sqrt5,$$ となる。ここでは $|2u\pm v|\le\sqrt{(2^2+1^2)(u^2+v^2)}=\sqrt5$ を用いた。2区間は重なり、両者を合わせた範囲は $-2-\sqrt5\le a\le2+\sqrt5$ である。したがってこの区間内の全ての $a$ で共有点がある。

次に $w=1-y$ の場合は $0\le1-y\le1$ であるから $$|a|=|x\pm(1-y)|\le|x|+1-y\le3<2+\sqrt5.$$ この場合に生じる $a$ も上の区間内にある。端点では外側の範囲の等号が成立し共有点を持つため、共有点がない条件は $$\boxed{a<-2-\sqrt5\quad\text{または}\quad a>2+\sqrt5}.$$