3滋賀医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) 余弦定理より $$\displaystyle \cos\theta=\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\,CA\cdot CB}=\frac{5^2+4^2-3^2}{2\cdot5\cdot4}=\frac45.$$ $\theta$は三角形の内角なので$0^\circ<\theta<180^\circ$である。また$\cos30^\circ=\sqrt3/2$であり、正の数どうしを比較して$4/5<\sqrt3/2$（$8<5\sqrt3$、すなわち$64<75$）だから$\cos\theta<\cos30^\circ$。余弦は$0^\circ$から$180^\circ$までの範囲で減少するので、$30^\circ<\theta$である。

(2) $c=\cos40^\circ$とおく。$40^\circ<60^\circ$より$c>1/2$である。三倍角の公式から $$\displaystyle 4c^3-3c=\cos120^\circ=-\frac12,\qquad f(c)=0\quad(f(x)=4x^3-3x+\tfrac12).$$ 一方、$f(4/5)=37/250>0$であり、 $$\displaystyle f(4/5)-f(c)=\left(\frac45-c\right)\left\{4\left(\frac{16}{25}+\frac45c+c^2\right)-3\right\}.$$ $c>1/2$から、中括弧内は$4(16/25+2/5+1/4)-3=54/25>0$より正である。したがって$4/5-c>0$、すなわち$\cos40^\circ<4/5=\cos\theta$である。余弦の減少性から$\theta<40^\circ$。

(3) $c=\cos36^\circ$とおく。三倍角および二倍角の公式と$\cos108^\circ=-\cos72^\circ$より $$4c^3-3c=\cos108^\circ=-\cos72^\circ=-(2c^2-1),$$ ゆえに$(c+1)(4c^2-2c-1)=0$。$c>0$なので$4c^2-2c-1=0$、したがって$c=(1+\sqrt5)/4$（もう一方の根は負）である。$\sqrt5>11/5$（両辺を二乗すると$5>121/25$）より$\cos36^\circ=(1+\sqrt5)/4>4/5=\cos\theta$。余弦の減少性から$36^\circ<\theta$。

(4) 整数$n,m$が$n\theta=30^\circ+360^\circ m$を満たすと仮定する。$n=0$なら$m=-1/12$となって整数でないから、$n\ne0$であり、$\theta/180^\circ=(1+12m)/(6n)$は有理数である。よって整数$p$と正の整数$q$を用いて$q\theta=180^\circ p$と書ける。 $$F_0(X)=2,\quad F_1(X)=X,\quad F_{r+1}(X)=XF_r(X)-F_{r-1}(X)\quad(r\ge1)$$ と定めると、加法定理から$F_r(2\cos\theta)=2\cos(r\theta)$である。また漸化式により、各$r\ge1$について$F_r$は整数係数の最高次係数1の$r$次多項式である。$2\cos\theta=8/5$なので$F_q(8/5)=2\cos(q\theta)=2(-1)^p$。したがって$F_q(X)-2(-1)^p$は最高次係数1の整数係数多項式であり、$8/5$をその根にもつ。これを$X^q+a_{q-1}X^{q-1}+\cdots+a_0$（各$a_j$は整数）と書き、$X=8/5$を代入して$5^q$を掛けると$8^q+5a_{q-1}8^{q-1}+\cdots+5^qa_0=0$となる。左辺の第2項以下はすべて5で割り切れるので、$5\mid8^q$となるが、これは不可能である。よって仮定に反し、そのような整数$n,m$は存在しない。