1福島県立医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) $t=2^x$（$t>0$） とおくと，不等式は $$-2t^3+15t^2+9t-8>0$$ となる。因数分解すると $$-2t^3+15t^2+9t-8=-(2t-1)(t-8)(t+1)$$ である。$t>0$ では $t+1>0$ だから，左辺が正となる範囲は $\displaystyle \frac12<t<8$。したがって $2^{-1}<2^x<2^3$ より $$-1<x<3.$$

(2) $D=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$ とおく。 $$x^3=(x+2)D+2x-4$$ より $$\displaystyle \frac{x^3}{D}=x+2+\frac{2(x-1)}{(x-1)^2+1}-\frac{2}{(x-1)^2+1}.$$ 従って原始関数は $$\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\log\bigl((x-1)^2+1\bigr)-2\tan^{-1}(x-1).$$ ここで $\displaystyle F(1+\sqrt3)=4+3\sqrt3+\log4-\frac{2\pi}{3}$， $\displaystyle F(1)=\frac52$ なので $$\displaystyle \int_1^{1+\sqrt3}\frac{x^3}{x^2-2x+2}\,dx =\frac32+3\sqrt3+\log4-\frac{2\pi}{3}.$$

(3) $a_n$ の公比を $r$ とする。ここで A=a_1=b_1, d=b_2-b_1 とおく。条件 $a_1\ne a_2$ より A$\ne$0, r$\ne$1 であり， $a_2=b_2$ から $d=A(r-1)$ である。$a_3=b_k$ を使うと $$Ar^2=A+(k-1)d \quad\text{より}\quad r^2-1=(k-1)(r-1).$$ $r\ne1$ なので約して $r+1=k-1$，すなわち $r=k-2$。さらに $$\displaystyle Ar^3=A+(m-1)d \quad\text{より}\quad m-1=\frac{r^3-1}{r-1}=r^2+r+1.$$ 従って $$m=r^2+r+2=(k-2)^2+(k-2)+2=k^2-3k+4.$$

(4) 共通接線を $y=mx+c$ とおく。垂直接線の接点の x 座標は，$C_1$ では $\sqrt{5/2}$，$C_2$ の右枝では $\sqrt{10}$ で異なるため，共通接線は非垂直であり，この形で表せる。 $C_1$ に代入すると $$(4+m^2)x^2+2mcx+c^2-10=0.$$ 接する条件を判別式 $0$ として計算すると $$\displaystyle c^2=10+\frac52m^2.$$ 同様に $C_2$ では $$(1-m^2)x^2-2mcx-c^2-10=0, \qquad c^2=10(m^2-1).$$ 二式を等しくして $\displaystyle m^2=\frac83$，$\displaystyle c^2=\frac{50}{3}$ を得る。接点の $x$ 座標は順に $$\displaystyle -\frac{mc}{4+m^2},\qquad \frac{mc}{1-m^2}.$$ 両方が正となるのは $mc<0$ の場合であり， $\displaystyle |mc|=\frac{20}{3}$ だから接点は $C_1$ 上で $x=1$， $C_2$ 上で $x=4$ となる。二本の接線は $$\displaystyle y=\pm\sqrt{\frac83}\left(x-\frac52\right).$$ 回転断面の外半径を $\displaystyle R(x)=\sqrt{\frac83}\left|x-\frac52\right|$ とする。 $C_1$ の囲まれた部分は $\displaystyle 1\le x\le\frac52$ にあり，楕円の弧がある範囲 $1\le x\le\sqrt{5/2}$ では $$\displaystyle R(x)^2-(10-4x^2)=\frac{20}{3}(x-1)^2\ge0.$$ したがって円板の体積から楕円部分の円板を差し引き $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{V_1}{\pi} &=\int_1^{5/2}\frac83\left(\frac52-x\right)^2\,dx -\int_1^{\sqrt{5/2}}(10-4x^2)\,dx\\ &=3-\frac{10\sqrt{10}-26}{3} =\frac{35-10\sqrt{10}}{3}. \end{aligned}$$ $C_2$ の囲まれた部分は $\displaystyle \frac52\le x\le4$ にあり，双曲線の枝がある $\sqrt{10}\le x\le4$ では $$\displaystyle R(x)^2-(x^2-10)=\frac53(x-4)^2\ge0.$$ 同じく $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{V_2}{\pi} &=\int_{5/2}^{4}\frac83\left(x-\frac52\right)^2\,dx -\int_{\sqrt{10}}^{4}(x^2-10)\,dx\\ &=3-\frac{20\sqrt{10}-56}{3} =\frac{65-20\sqrt{10}}{3}. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle V_1+V_2=\frac{100-30\sqrt{10}}{3}\pi.$$

(5) $a=\lfloor\sqrt n\rfloor\ge1$ とする。条件を二乗すると $$\displaystyle \frac{49a^2}{36}<n<\frac{36a^2}{25}.$$ $a=1,2,3$ の場合，$n$ の範囲は順に $49/36<n<36/25$，$49/9<n<144/25$，$49/4<n<324/25$ であり，いずれも整数を含まない。 $a=4$ では $$\displaystyle \frac{196}{9}<n<\frac{576}{25}$$ だから整数候補は $22,23$。また $16\le22<25$ より $\lfloor\sqrt{22}\rfloor=4$，かつ上の不等式を満たす。 $a\ge5$ なら $n\ge25$ なので，最小の自然数は $$n=22.$$