2福島県立医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) 垂線のベクトル $\vec n=\vec a+\vec b+\vec c$ とすると、$\vec n$ は平面 $ABC$ に垂直であり、 $$|\vec n|^2=6s^2,\qquad \vec n\cdot\vec a=\vec n\cdot\vec b=\vec n\cdot\vec c=2s^2.$$ 平面 $ABC$ 上の点の位置ベクトル $\vec r$ は $\vec n\cdot\vec r=2s^2$ を満たす。そこで $Q=P+\lambda\vec n$ とおくと $$\vec n\cdot\overrightarrow{OP}=2s^2\{tx+ty+1-t\},$$ よって $\lambda=t(1-x-y)/3$ となる。従って $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{PQ}=\frac{t(1-x-y)}3(\vec a+\vec b+\vec c)}.$$ 次に $\vec m=3\vec a-\vec b-\vec c$ とおくと、$\vec m$ は平面 $OBC$ に垂直で、 $$|\vec m|^2=6s^2,\qquad \vec m\cdot\vec a=2s^2,\qquad \vec m\cdot\vec b=\vec m\cdot\vec c=0.$$ 平面 $OBC$ 上では $\vec m\cdot\vec r=0$ だから、$R=P+\mu\vec m$ とおくと $$\displaystyle 0=\vec m\cdot\overrightarrow{OR}=2s^2tx+6s^2\mu, \qquad \mu=-\frac{tx}{3}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{PR}=-\frac{tx}{3}(3\vec a-\vec b-\vec c)}.$$ ここで $\delta=t(1-x-y)/3>0$ だから、$Q$ の $ABC$ に関する係数は $tx+\delta,ty+\delta,1-t+\delta$ と全て正で、和は1である。また、$R$ の $OBC$ に関する係数は $ty+tx/3,1-t+tx/3$ と $O$ の係数 $t(1-y-2x/3)$ であり、これらも全て正で和は1である（$x+y<1$）。従って求めた正射影は指定された各三角形の内部にある。

(2) 四面体 $PABC$ の体積 平面 $ABC$ は $\vec n\cdot\vec r=2s^2$ と表せる。原点 $O$ のこの平面からの垂直距離に対し、$P$ の平面からの垂直距離の比は $$\displaystyle \frac{\left|2s^2-\vec n\cdot\overrightarrow{OP}\right|}{2s^2} =1-(tx+ty+1-t)=t(1-x-y),$$ ここで $x+y<1$ を用いた。底面を共通にする四面体の体積は高さの比に等しいので $$\boxed{\operatorname{Vol}(PABC)=t(1-x-y)V}.$$

(3) 体積の等式 平面 $OBC$ への高さは頂点の $\vec a$ 方向の係数に比例するので $$\operatorname{Vol}(POBC)=txV.$$ 同様に、平面 $OAB$ への高さは $\vec c$ 方向の係数に比例するから $$\operatorname{Vol}(POAB)=(1-t)V.$$ 条件に (2) の結果を代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} t(1-x-y)V+txV&=(1-t)V,\\ t(1-y)&=1-t,\\ \boxed{t=\frac1{2-y}}. \end{aligned}$$