6東京大学 2017年 数学 第6問解答・解説

正三角形の条件から $OP=OQ=PQ=1$。位置ベクトルを $\boldsymbol p,\boldsymbol q$ とすると $$|\boldsymbol p|=|\boldsymbol q|=|\boldsymbol p-\boldsymbol q|=1$$ であり、 $$|\boldsymbol p-\boldsymbol q|^2=|\boldsymbol p|^2+|\boldsymbol q|^2-2\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q$$ より $\displaystyle \boldsymbol p\cdot\boldsymbol q=\frac12$ である。

(1) $\boldsymbol q=(0,0,1)$ なので $\displaystyle p_z=\frac12$。また $|\boldsymbol p|=1$ より $$\displaystyle p_x^2+p_y^2=\frac34.$$ したがって $p_x$ の範囲は $$\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}\leq p_x\leq\frac{\sqrt3}{2}.$$ $|OA|=|OP|=1$ だから $p_x=\cos\theta$。$\cos\theta$ は $0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$ で減少するので $$\displaystyle 30^\circ=\arccos\frac{\sqrt3}{2}\leq\theta\leq \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=150^\circ.$$

(2) $\boldsymbol q=(0,u,v)$, $u^2+v^2=1$ とおく。固定した単位ベクトル $\boldsymbol p$ に対し、$\boldsymbol q$ がこの円周上を動くとき $$\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q=p_yu+p_zv$$ は $$-\sqrt{p_y^2+p_z^2}\leq\boldsymbol p\cdot\boldsymbol q\leq \sqrt{p_y^2+p_z^2}$$ の範囲を連続的に動く。よって $\displaystyle \boldsymbol p\cdot\boldsymbol q=\frac12$ となる $\boldsymbol q$ が存在する条件は $$\displaystyle \sqrt{p_y^2+p_z^2}\geq\frac12 \quad\text{すなわち}\quad |p_x|\leq\frac{\sqrt3}{2}.$$ したがって、辺 $OP$ が通過する $K$ は $$\displaystyle K=\left\{(x,y,z)\ \middle|\ x^2+y^2+z^2\leq1,\quad y^2+z^2\geq\frac{x^2}{3}\right\}.$$ $x$ を固定した断面は、外半径 $\sqrt{1-x^2}$、内半径 $|x|/\sqrt3$ の円環である。断面が存在する範囲は $|x|\leq\sqrt3/2$ だから、断面積を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}(K) &=\pi\int_{-\sqrt3/2}^{\sqrt3/2} \left((1-x^2)-\frac{x^2}{3}\right)\,dx\\ &=\pi\int_{-\sqrt3/2}^{\sqrt3/2} \left(1-\frac{4x^2}{3}\right)\,dx =\frac{2\pi\sqrt3}{3}. \end{aligned}$$

空間ベクトルの内積で可能な辺OPの方向を定め、x軸に垂直な円環断面を積分して体積を求める。