4福井大学 2017年 数学 第4問解答・解説

平面 $x=-\sqrt2$ を $z$ 軸のまわりに、負の $y$ 軸と交わる向きへ $45^\circ$ 回転する。回転後の点を戻したときの $x$ 座標は $x\cos45^\circ+y\sin45^\circ$ なので、 $$x\cos45^\circ+y\sin45^\circ=-\sqrt2\quad\text{すなわち}\quad x+y=-2.$$ 従って $\alpha:x+y=-2$。球の中心は $O=(1,0,-2)$、半径は $R=2\sqrt2$。中心から平面までの距離は $$\displaystyle d=\frac{|1+0+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac3{\sqrt2}.$$ $z$ 軸は $x+y=0>-2$ 側なので、指定の球面部分 $\beta$ は $x+y\le-2$ 側である。球冠の高さは $$\displaystyle h=R-d=\frac1{\sqrt2}.$$ (1) 球冠の頂点から平面へ向かって距離 $s$（$0\le s\le h$）の位置で切る。断面円の半径の二乗は $R^2-(R-s)^2=2Rs-s^2$ であるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_0^h\pi(2Rs-s^2)ds=\pi\left(Rh^2-\frac{h^3}{3}\right)\\ &=\pi\left(\sqrt2-\frac{\sqrt2}{12}\right)=\frac{11\sqrt2\pi}{12}. \end{aligned}$$ (2) $z=-2$ で切った球面の円は $(x-1)^2+y^2=8$。中心 $O_0=(1,0,-2)$、半径 $r=2\sqrt2$ で、$C$ はこの円のうち $x+y\le-2$ の弧である。 $A=(5,4,1)$ をこの平面に正射影した点は $A_0=(5,4,-2)$ なので、$A_0O_0=4\sqrt2$。三角不等式より $$A_0P\le A_0O_0+O_0P=6\sqrt2.$$ 等号は $$\displaystyle P=O_0-\frac{r}{A_0O_0}(A_0-O_0)=(1,0,-2)-(2,2,0)=(-1,-2,-2)$$ で成立し、この点は $x+y=-3\le-2$ より $C$ 上にある。$A,P$ の高さの差は3なので、 $$AP=\sqrt{(6\sqrt2)^2+3^2}=9.$$ 最大値は9、そのとき $P=(-1,-2,-2)$ である。