3福井大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) 媒介変数を微分すると $$\displaystyle x'(\theta)=1-\cos\theta=2\sin^2\frac\theta2>0, \qquad y'(\theta)=\sin\theta.$$ したがって接線の傾きは $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y'(\theta)}{x'(\theta)} =\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\frac\theta2.$$ 法線の傾きはその負の逆数 $-\tan(\theta/2)$ である。よって、点 $P$ を通る法線は $$\displaystyle \boxed{y-(1-\cos\theta)=-\tan\frac\theta2\{x-(\theta-\sin\theta)\}}.$$

(2) $Q$ は $x=\pi$ 上にあるので、$P$ から $Q$ への水平距離は $$\Delta x=\pi-(\theta-\sin\theta)=\pi-\theta+\sin\theta>0.$$ 法線の傾きの絶対値が $\tan(\theta/2)$ だから、直角三角形の斜辺と水平辺の比を使うと $$\displaystyle f(\theta)=PQ=\Delta x\sqrt{1+\tan^2(\theta/2)} =\frac{\pi-\theta+\sin\theta}{\cos(\theta/2)}.$$ ここで $h=\pi-\theta$ とおくと、$h\to0+$、$\cos(\theta/2)=\sin(h/2)$、$\sin\theta=\sin h$ より $$\displaystyle f(\theta)=\frac{h}{\sin(h/2)}+\frac{\sin h}{\sin(h/2)}\longrightarrow 2+2=4.$$ したがって $\displaystyle \boxed{\lim\limits _{\theta\to\pi-0}f(\theta)=4}$。

(3) $R=(x_R,0)$ とおいて法線の式に代入する。 $$\displaystyle -(1-\cos\theta)=-\tan\frac\theta2\{x_R-(\theta-\sin\theta)\},$$ したがって $$\displaystyle x_R-(\theta-\sin\theta)=\frac{1-\cos\theta}{\tan(\theta/2)}=\sin\theta, \qquad R=(\theta,0).$$ よって距離の公式から $$\displaystyle PR=\sqrt{\sin^2\theta+(1-\cos\theta)^2}=2\sin\frac\theta2.$$ 曲線の速さは、$0\le t\le\theta<\pi$ では $$\displaystyle \sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2t}=\sqrt{2-2\cos t}=2\sin\frac t2$$ なので、原点から $P$ までの長さは $$\displaystyle s=\int_0^\theta 2\sin\frac t2\,dt=4\left(1-\cos\frac\theta2\right).$$ 以上から $$\displaystyle \frac{s}{2PR}=\frac{1-\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} =\tan\frac\theta4<1,$$ となる。最後は $0<\theta/4<\pi/4$ より従う。したがって $\boxed{s<2PR}$。