3徳島大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$x=\cos^n t$ より $y=(1-x^{2/n})^2$。$t=\pi/3$ では $(x,y)=(2^{-n},9/16)$ であり、 $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4\sin^3t\cos t}{-n\cos^{n-1}t\sin t}=-\frac4n\sin^2t\cos^{2-n}t=-\frac{3\cdot2^{n-2}}n.$$ 従って接線は $$\displaystyle \ell_n:\ y=\frac9{16}+\frac3{4n}-\frac{3\cdot2^{n-2}}n x.$$

・ 上の式。

・ $n=2$ では $y=(1-x)^2$、$\ell_2:y=15/16-3x/2$、接点は $x=1/4$。従って $$\displaystyle S_2=\int_0^{1/4}\left((1-x)^2-\frac{15}{16}+\frac{3x}2\right)dx=\frac1{192}.$$

・ $u=2^n x$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=2^{-n}\int_0^1\left[\left(1-\frac{u^{2/n}}4\right)^2-\frac9{16}-\frac3{4n}+\frac{3u}{4n}\right]du\\ &=2^{-n}\left(\frac{3n+14}{4(n+2)(n+4)}-\frac3{8n}\right). \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle 2^n nS_n=\frac{n(3n+14)}{4(n+2)(n+4)}-\frac38\longrightarrow\frac38.$$

$t=\pi/3$ で $(x,y)=(2^{-n},9/16)$。$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac4n\sin^2t\cos^{2-n}t$ なので接線の傾きは $\displaystyle -\frac{3\cdot2^{n-2}}n$。(2)では $n=2$ の曲線が $y=(1-x)^2$、接線が $y=15/16-3x/2$ となり、面積は $\displaystyle 0\leq x\leq\frac14$ で両者の差を積分して $\displaystyle \frac1{192}$。(3) 曲線は $y=(1-x^{2/n})^2$。$u=2^nx$ とおくと $$\displaystyle S_n=2^{-n}\left[\frac{3n+14}{4(n+2)(n+4)}-\frac3{8n}\right].$$ よって $$\displaystyle 2^n nS_n=\frac{n(3n+14)}{4(n+2)(n+4)}-\frac38\longrightarrow\frac38.$$