徳島大学 2017年数学第4問解答・解説

1問題

徳島大学2017年度第4問

$n<m$ とする。白玉 $n$ 個と赤玉 $m$ 個が入っている袋から $n$ 個の玉を同時に取り出す。このとき， $k=0,1,2,\ldots,n$ に対して，白玉がちょうど $k$ 個出る確率を $p_k$ とする。

(1) $n=2,m=3$ のときに， $p_0,p_1,p_2$ を求めよ。

(2) $n\geq6$ とする。 $p_5=p_6$ が成り立つような組 $(n,m)$ の中で $n$ が最小となるものを求めよ。

(3) $n\geq3$ とする。 $k=0,1,2,\ldots,n$ に対して， $\displaystyle d_k=\left|\frac{n}{n+m}-\frac{k}{n}\right|$ とする。 $d_2>d_3$ および $p_2>p_3$ が同時に成り立つような組 $(n,m)$ の中で $n$ が最小となるものを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle p_0=\frac3{10},\quad p_1=\frac35,\quad p_2=\frac1{10}$ 。 (2) $n=17,\quad m=35$ 。 (3) $n=9,\quad m=23$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

白玉がk個出る場合は、白玉n個からk個、赤玉m個からn−k個を選ぶので $\displaystyle p_k=\frac{\binom{n}{k}\binom{m}{n-k}}{\binom{n+m}{n}}$ 。

(1) n=2,m=3では分母はC(5,2)=10。従って p₀=C(2,0)C(3,2)/10=3/10、p₁=C(2,1)C(3,1)/10=6/10、p₂=C(2,2)C(3,0)/10=1/10。

(2) 隣接項の比は $\displaystyle \frac{p_{k+1}}{p_k}=\frac{(n-k)^2}{(k+1)(m-n+k+1)}$ 。k=5でp₅=p₆となる条件は $(n-5)^2=6(m-n+6)$ 、よって $\displaystyle m-n=\frac{(n-5)^2}{6}-6$ 。m>nには n>11 が必要で、整数mには $6\mid(n-5)^2$ 、すなわち $n\equiv5\pmod6$ が必要。最小は $n=17$ で、このときm−n=18、 $m=35$ 。

(3) $\displaystyle q=\frac{n}{n+m}$ とすると d₂>d₃ は $\displaystyle \left|q-\frac2n\right|>\left|q-\frac3n\right|$ と同値で、二乗差から $\displaystyle q>\frac5{2n}$ 、すなわち $\displaystyle m<\frac{2n^2-5n}{5}$ 。さらに $\displaystyle \frac{p_3}{p_2}=\frac{(n-2)^2}{3(m-n+3)}$ なので p₂>p₃ は $\displaystyle m>\frac{n^2-n-5}{3}$ と同値。n=3,4は上限がm>nを満たせず、n=5は下限5と上限5の間に整数がなく、n=6,7,8では許される区間がそれぞれ (25/3,8.4), (37/3,12.6), (17,17.6) で整数を含まない。 $n=9$ では 67/3<m<23.4 を満たす整数 $m=23$ があり、実際に両条件を満たす。

この問題で使う考え方

組合せ
超幾何分布
隣接確率の比

1問題

2答え

3解答

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