徳島大学 2017年数学第1問解答・解説

数列

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1問題

徳島大学2017年度第1問

数列 $\{a_n\}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和 $S_n$ が次を満たす。 $a_n+2S_n=3\cdot2^{n-1}\quad(n=1,2,3,\ldots)$

(1) $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を求めよ。

(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(3) $S_1+3S_2+3^2S_3+\cdots+3^{n-1}S_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{3}+2^{n-1}$
(2)
$\displaystyle a_n=\frac35 2^{n-1}+\frac25 3^{-(n-1)}$
(3)
$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}3^{k-1}S_k=\frac{6(6^n-1)}{25}-\frac n5$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

まず $n=1$ の条件から $a_1+2a_1=3$ なので $a_1=1$ 。条件式を $n+1$ と $n$ で引き、 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ を使うと $\displaystyle 3a_{n+1}-a_n=3\cdot2^{n-1},\qquad a_{n+1}=\frac13a_n+2^{n-1}.$ これが (1) の関係式である。

(2) この漸化式の一般解は、初項 $a_1=1$ を使って $\displaystyle a_n=\frac35\,2^{n-1}+\frac25\,3^{-(n-1)}.$ 実際、この式は $a_1=1$ を満たし、漸化式に代入しても成立する。

(3) 元の条件から $\displaystyle S_n=\frac{3\cdot2^{n-1}-a_n}{2} =\frac65\,2^{n-1}-\frac15\,3^{-(n-1)}.$ したがって $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n3^{k-1}S_k =\frac65\sum\limits _{k=1}^n6^{k-1}-\frac n5 =\frac{6(6^n-1)}{25}-\frac n5.$

総和条件を隣接するnとn+1で差し引いて一次漸化式を得る。初項と漸化式から一般項を確認し、元の総和条件でSnを表す。最後の和は6の等比数列の和と定数和に分ける。

この問題で使う考え方

隣接条件の差
一次漸化式
等比数列の和

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