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岡山大学／2017年度／前期

岡山大学 2017年 数学 第4問解答・解説

数列極限平面上の曲線と複素数平面

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1問題

岡山大学2017年度第4問

α\alpha は 0<∣α∣<10<|\alpha|<1 を満たす虚数であるとする。複素数平面上の点の列 z1,z2,z3,…z_1,z_2,z_3,\ldots を、z1=0,z2=1z_1=0,z_2=1 および {z2n+1−z2n=α(z2n−z2n−1)(n=1,2,3,…),z2n+2−z2n+1=α‾(z2n+1−z2n)(n=1,2,3,…)\left\{\begin{aligned} z_{2n+1}-z_{2n}&=\alpha(z_{2n}-z_{2n-1}) &&(n=1,2,3,\ldots),\\ z_{2n+2}-z_{2n+1}&=\overline{\alpha}(z_{2n+1}-z_{2n}) &&(n=1,2,3,\ldots) \end{aligned}\right. で定める。ただし、虚数とは虚部が0でない複素数のことであり、また、α‾\overline{\alpha} は α\alpha に共役な複素数を表すものとする。このとき以下の問いに答えよ。

(1) 次の等式が成り立つことを示せ。 z2n+2−z2n=∣α∣2(z2n−z2n−2)(n=2,3,4,…)z_{2n+2}-z_{2n}=|\alpha|^2(z_{2n}-z_{2n-2})\qquad(n=2,3,4,\ldots)

(2) 偶数番目の点の列 z2,z4,z6,…z_2,z_4,z_6,\ldots および奇数番目の点の列 z1,z3,z5,…z_1,z_3,z_5,\ldots は、それぞれ同一直線上にあることを示せ。

(3) lim⁡n→∞∣zn−w∣=0\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}|z_n-w|=0 を満たす複素数 ww を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    z2n+2−z2n=∣α∣2(z2n−z2n−2),n≧2z_{2n+2}-z_{2n}=|\alpha|^2(z_{2n}-z_{2n-2}),\quad n\geq2
  • (2)
    偶数部分列は 1+t(α+∣α∣2)1+t(\alpha+|\alpha|^2)、奇数部分列は t(1+α)t(1+\alpha) 上（t∈Rt\in\mathbb{R}）
  • (3)
    w=1+α1−∣α∣2\displaystyle w=\frac{1+\alpha}{1-|\alpha|^2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

β=∣α∣2\beta=|\alpha|^2 とし dk=zk+1−zkd_k=z_{k+1}-z_k とおく。漸化式から d1=1,d2n=αd2n−1,d2n+1=αˉd2n,d_1=1,\qquad d_{2n}=\alpha d_{2n-1},\qquad d_{2n+1}=\bar\alpha d_{2n}, ゆえに d2n−1=βn−1, d2n=αβn−1d_{2n-1}=\beta^{n-1},\ d_{2n}=\alpha\beta^{n-1}。

(1) n≧2n\ge2 で z2n+2−z2n=d2n+d2n+1=βn−1(α+β)=β(z2n−z2n−2).z_{2n+2}-z_{2n}=d_{2n}+d_{2n+1} =\beta^{n-1}(\alpha+\beta) =\beta(z_{2n}-z_{2n-2}).

(2) 偶数番目について z2m=1+(α+β)∑j=0m−2βj=1+1−βm−11−β(α+β)(m≧1).\displaystyle z_{2m}=1+(\alpha+\beta)\sum\limits _{j=0}^{m-2}\beta^j =1+\frac{1-\beta^{m-1}}{1-\beta}(\alpha+\beta)\quad(m\ge1). 係数は実数であり、α+β≠0\alpha+\beta\ne0（虚部が α\alpha の虚部）だから全ての z2mz_{2m} は直線 1+t(α+β)1+t(\alpha+\beta) 上にある。

奇数番目について z2m+1=(1+α)∑j=0m−1βj=1−βm1−β(1+α)(m≧0).\displaystyle z_{2m+1}=(1+\alpha)\sum\limits _{j=0}^{m-1}\beta^j =\frac{1-\beta^m}{1-\beta}(1+\alpha)\quad(m\ge0). 係数は実数であり 1+α≠01+\alpha\ne0 なので、全ての z2m+1z_{2m+1} は直線 t(1+α)t(1+\alpha) 上にある。

(3) 0<β<10<\beta<1 より βm→0\beta^m\to0。偶数・奇数部分列はともに 1+α+β1−β=1+α1−β\displaystyle 1+\frac{\alpha+\beta}{1-\beta} =\frac{1+\alpha}{1-\beta} へ収束する。従って列全体もこの値へ収束し、 w=1+α1−∣α∣2.\displaystyle w=\frac{1+\alpha}{1-|\alpha|^2}.

この問題で使う考え方

  • 差分数列
  • 等比数列の和
  • 部分列の極限

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