3岡山大学 2017年 数学 第3問解答・解説

点A,Cを結ぶ線分上の点Qを、$Q=A+s(C-A)$とおく。$Q$の$z$座標は$s\sqrt{2}$であり、平面の方程式は$z=t$だから、$s=t/\sqrt{2}$である。したがって$$\displaystyle Q=\left(1-\frac{t}{\sqrt{2}},\frac{t}{\sqrt{2}},t\right)\qquad(0\leq t\leq\sqrt{2}).$$

(2) $z=t$（$0\leq t\leq\sqrt{2}$）における四面体の切り口を考える。$s=t/\sqrt{2}$とする。切り口の点は、下端の線分$AB$上の点$(u,0,0)$（$-1\leq u\leq1$）と上端の線分$CD$上の点$(0,v,\sqrt{2})$（$-1\leq v\leq1$）を、それぞれ重み$1-s,s$で結ぶ点である。よって切り口は$$x=(1-s)u,\quad y=sv,\quad z=t\qquad(-1\leq u,v\leq1)$$で表される長方形である。この長方形は$z$軸を中心とし、その頂点で$z$軸からの距離が最大となるので、最遠点までの距離を$R(t)$とすると$$\displaystyle R(t)^2=(1-s)^2+s^2=\left(1-\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2.$$長方形は中心を含むから、これを$z$軸のまわりに回転すると、高さ$z=t$で半径$R(t)$の円板ができる。したがって求める体積は$$\displaystyle \begin{aligned}V&=\int_0^{\sqrt{2}}\pi R(t)^2\,dt\\&=\pi\sqrt{2}\int_0^1\bigl((1-s)^2+s^2\bigr)\,ds\\&=\pi\sqrt{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}.\end{aligned}$$

辺ACの内分点から高さごとの切り口を求めると長方形になる。切り口は回転軸を含むので回転後は円板となり、その半径は中心から長方形の頂点までの距離である。円板の面積を高さで積分する。