4神戸大学 2024年 数学 第4問解答・解説

・ 高さを $z$ として固定すると、その断面は正方形 $ABCD$ である。軸 $AE$ は各断面で点 $A$ を通る。正方形内の点と $A$ との距離の最大値は対角線 $AC$ の長さ $2$ であり、線分 $AC$ 上で距離は $0$ から $2$ まで連続して変わる。したがって、この断面を $AE$ のまわりに回転すると半径 $2$ の円盤ができる。高さは $1$ だから $$V_1=\pi\cdot 2^2\cdot 1=4\pi.$$

次に、底面内で $AB$ に沿う座標を $u$、$A$ から辺 $AD$ に沿う座標を $v$ とする。$AB\perp AD$ で両辺の長さは $\sqrt{2}$ なので、直方体は $$0\leq u\leq\sqrt{2},\qquad 0\leq v\leq\sqrt{2},\qquad 0\leq z\leq1$$ で表され、軸 $AB$ は $v=z=0$ である。$u$ を固定した断面は $(v,z)$ 平面内の長方形で、原点を含み、頂点 $(\sqrt{2},1)$ までの距離は $\sqrt{3}$ である。この長方形には原点からその頂点への線分が含まれるので、回転後の断面は半径 $\sqrt{3}$ の円盤となる。軸方向の長さは $\sqrt{2}$ だから $$V_2=\pi(\sqrt{3})^2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\pi.$$

・ 線分 $EF$ 上の点を $$E+s(F-E)=(1-s,s,1)\qquad (0\leq s\leq1)$$ と表す。これが平面 $x=t$ 上にある条件は $1-s=t$ であるから $s=1-t$ となり、共有点は $$(t,1-t,1)$$ である。

・ 底面の正方形は $|x|+|y|\leq1$ と表せる。したがって、$x$ を固定した元の直方体の断面は $$-(1-|x|)\leq y\leq1-|x|,\qquad 0\leq z\leq1$$ である（$-1\leq x\leq1$）。この長方形は $(y,z)=(0,0)$ を含み、原点から頂点 $(1-|x|,1)$ への線分も含む。ゆえに $x$ 軸のまわりに回転すると半径 $$r(x)=\sqrt{(1-|x|)^2+1}$$ の円盤となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V_3 &=\pi\int_{-1}^{1}r(x)^2\,dx\\ &=2\pi\int_0^1\bigl(1+(1-x)^2\bigr)\,dx\\ &=2\pi\left(1+\frac13\right) =\frac{8\pi}{3}. \end{aligned}$$