2神戸大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$a,b,c$ は実数で，$a\neq 0$ とする。放物線 $C$ と直線 $\ell_1,\ell_2$ をそれぞれ $$C:y=ax^2+bx+c,\qquad \ell_1:y=-3x+3,\qquad \ell_2:y=x+3$$ で定める。$\ell_1,\ell_2$ がともに $C$ に接するとき，以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) $b$ を求めよ。また $c$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $C$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるとき，$\displaystyle \frac{1}{a}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $C$ と $\ell_1$ の接点を $P$，$C$ と $\ell_2$ の接点を $Q$，放物線 $C$ の頂点を $R$ とする。$a$ が(2)の条件を満たしながら動くとき，$\triangle PQR$ の重心 $G$ の軌跡を求めよ。