5神戸大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) 被積分関数は偶関数なので $$\displaystyle f(x)=\frac12\left[\arctan u\right]_{-x}^{x}=\arctan x.$$ $0\le\alpha<\pi/2$ では $\arctan(\tan\alpha)=\alpha$。よって $$f(\tan\alpha)=\alpha.$$ (2) $f(x)=\arctan x$、$f(1)=\pi/4$ より条件は $\arctan x+\arctan y\le\pi/4$。$0\le x,y\le1$ で整理すると $$\displaystyle 0\le y\le\tan\left(\frac\pi4-\arctan x\right) =\frac{1-x}{1+x}.$$ したがって領域は、単位正方形内で曲線 $y=(1-x)/(1+x)$ の下、$x$ 軸の上にある部分である。 $$\displaystyle \text{斜線部は }0\le x\le1,\quad 0\le y\le\frac{1-x}{1+x}.$$

面積は $$\displaystyle \int_0^1\frac{1-x}{1+x}\,dx =\int_0^1\left(-1+\frac{2}{1+x}\right)dx =2\log2-1.$$

積分の値は逆正接を使って $f(x)=\arctan x$ と表せる。これにより領域条件は $$\displaystyle \arctan x+\arctan y\le\frac{\pi}{4}$$ となり、単位正方形上の境界は $\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$。境界の下側を積分して面積 $2\log2-1$ を得る。図は単位正方形内で曲線 $\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$ とx軸にはさまれる領域を示す。