九州大学 2001年数学第3問解答・解説

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1問題

九州大学2001年度第3問

空間内に以下のような円柱と正四角柱を考える。円柱の中心軸は $x$ 軸で，中心軸に直交する平面による切り口は半径 $r$ の円である。正四角柱の中心軸は $z$ 軸で， $xy$ 平面による切り口は一辺の長さが $\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{r}$ の正方形で，その正方形の対角線は $x$ 軸と $y$ 軸である。 $0<r\leq\sqrt{2}$ とし，円柱と正四角柱の共通部分を $K$ とする。

(1) 高さが $z=t\;(-r\leq t\leq r)$ で $xy$ 平面に平行な平面と $K$ との交わりの面積を求めよ。

(2) $K$ の体積 $V(r)$ を求めよ。

(3) $0<r\leq\sqrt{2}$ における $V(r)$ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle S(t)=\frac8r\sqrt{r^2-t^2}-2(r^2-t^2)$ 。 (2) $\displaystyle V(r)=4\pi r-\frac83r^3$ 。 (3) $\displaystyle r=\sqrt{\frac\pi2}$ で最大値 $\displaystyle \frac43\sqrt{2\pi^3}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

円柱は $y^2+z^2\le r^2$ 、正四角柱は $|x|+|y|\le2/r$ で表される。 $z=t$ と置き、 $a=\sqrt{r^2-t^2}$ とする。条件 $0<r\le\sqrt2$ より $a\le r\le2/r$ なので、断面では $|y|\le a$ かつ $x$ の幅は $2(2/r-|y|)$ 。従って $\displaystyle S(t)=\int_{-a}^a2(2/r-|y|)\,dy =\frac8r\sqrt{r^2-t^2}-2(r^2-t^2).$ これを $-r\le t\le r$ で積分すると $\displaystyle V(r)=\frac8r\cdot\frac{\pi r^2}{2}-2\cdot\frac{4r^3}{3} =4\pi r-\frac83r^3.$ $V'(r)=4\pi-8r^2$ は $r=\sqrt{\pi/2}$ で0。 $0<\sqrt{\pi/2}<\sqrt2$ （ $\pi<4$ ）かつ $V''(r)=-16r<0$ だから最大点である。代入して $\displaystyle V_{\max}=V(\sqrt{\pi/2})=\frac43\sqrt{2\pi^3}.$

この問題で使う考え方

立体の不等式表示
断面の幅を積分
偶関数の積分
最大値の増減判定

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