5九州大学 2001年 数学 第5問解答・解説

D　接線角・単位法線・曲線の長さ (1) 接線角の増加 接線の傾きは$f'(t)=\tan\theta(t)$であり、$-\pi/2<\theta(t)<\pi/2$である。よって$\theta(t)=\arctan f'(t)$で、 $$\displaystyle \theta'(t)=\frac{f''(t)}{1+\{f'(t)\}^2}>0.$$ したがって$\theta(t)$はつねに（厳密に）増加する。

(2) 下側の単位法線 接線の上向きでない単位法線は$(\sin\theta,-\cos\theta)$である。$\cos\theta>0$よりその鉛直成分は負で、$P$からの距離は1である。したがって $$\displaystyle \boxed{\alpha(t)=t+\sin\theta(t) =t+\frac{f'(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}}.$$ $$\displaystyle \boxed{\beta(t)=f(t)-\cos\theta(t) =f(t)-\frac1{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}}.$$

(3) 二曲線の弧長差 接線方向の単位ベクトルを$T=(\cos\theta,\sin\theta)$とする。$P'=(1,f')=\sqrt{1+\{f'\}^2}\,T$である。また$Q=P+(\sin\theta,-\cos\theta)$なので、 $$Q'=P'+\theta'(\cos\theta,\sin\theta) =\left(\sqrt{1+\{f'\}^2}+\theta'\right)T.$$ $\theta'>0$ゆえ括弧内は正で、速さの絶対値を外す際の符号反転はない。従って $$\displaystyle L_1=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}\,dt,\qquad L_2=\int_a^b\left(\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}+\theta'(t)\right)dt,$$ したがって$\boxed{L_2-L_1=\theta(b)-\theta(a)}$である。

E　指数不等式・長方形近似 (1) 三次の挟み込み $f(x)=e^x-1-x-x^2/2$とおくと、$f(0)=f'(0)=f''(0)=0$かつ$f'''(x)=e^x>0$である。$0<x<1$では順に$f''(x)>0$、$f'(x)>0$、$f(x)>0$となる。

$h(x)=x^3-f(x)$とおくと$h(0)=h'(0)=h''(0)=0$であり、$0<x<1$では$e^x<e<3$を用いて$h'''(x)=6-e^x>3>0$を得る。同様に$h''(x),h'(x),h(x)>0$である。故に $$\boxed{0<f(x)<x^3}\qquad(0<x<1).$$ $n\ge2$で$x=1/n$を代入すれば$0<n^2f(1/n)<1/n$なので、挟みうちにより$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}n^2f(1/n)=0}$。

(2) 最大の自然数と極限 $g(x)=e^x$は増加するから左端の長方形和$K_n$は積分より小さい。等比級数から $$\displaystyle K_n=\frac1n\sum\limits _{j=0}^{n-1}e^{j/n} =\frac{e-1}{n(e^{1/n}-1)},\qquad \int_0^1e^x\,dx=e-1.$$ $\delta_n=n(e^{1/n}-1)-1$とおく。(1)の$f$を用いれば $$\displaystyle \delta_n=\frac1{2n}+nf(1/n)>0,\qquad n\delta_n=\frac12+n^2f(1/n)\longrightarrow\frac12.$$ 積分と左端和の差$D_n$は正であり、 $$\displaystyle D_n=(e-1)-K_n=(e-1)\frac{\delta_n}{1+\delta_n},\qquad nD_n\longrightarrow\frac{e-1}{2}>0.$$ $k=1$なら有限の極限を持つ。一方、任意の自然数$k\ge2$では $n^kD_n=n^{k-1}(nD_n)\to\infty$である。従って $$\displaystyle \boxed{k_{\max}=1,\qquad \lim\limits _{n\to\infty}nD_n=\frac{e-1}{2}}.$$

F　行列と整数解 (1) 行列表示と逆行列 $$\displaystyle A\binom{x}{y}=\binom{p}{q},\qquad A=\begin{pmatrix}4&9\\2&6\end{pmatrix},\qquad \det A=4\cdot6-9\cdot2=6\ne0.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{A^{-1}=\frac16\begin{pmatrix}6&-9\\-2&4\end{pmatrix}} =\begin{pmatrix}1&-3/2\\-1/3&2/3\end{pmatrix}.$$ 解は$x=p-3q/2,\ y=(-p+2q)/3$である。

(2) $0\le p,q\le5$での全組 $p,q$が整数のとき、$x$ が整数であることは$q$が偶数であることと同値、$y$ が整数であることは$p\equiv2q\pmod3$と同値である。$q=0,2,4$を順に調べると $$\begin{array}{c|c|c} q&p\text{の候補}&(p,q)\\\hline 0&0,3&(0,0),(3,0)\\ 2&1,4&(1,2),(4,2)\\ 4&2,5&(2,4),(5,4) \end{array}$$ となり、$\boxed{(p,q)=(0,0),(3,0),(1,2),(4,2),(2,4),(5,4)}$が全部である。

(3) 存在と(4)最小値 $d=6$なら$p=6m,q=6n$（$m,n$は整数）として $$x=6m-9n,\qquad y=-2m+4n$$ は必ず整数となる。従って所望の$d$は存在する。

逆に所望の正整数$d$があるなら、正の倍数の組$p=q=d$も許される。このとき$x=-d/2,\ y=d/3$だから、両者が整数となるには$2\mid d$かつ$3\mid d$が必要である。したがって$6\mid d$、既に$d=6$が成り立つので$\displaystyle \boxed{d_{\min}=6}$である。

単元・方法・テーマ・範囲 単元：Dは数学III「微分法・積分法（曲線の長さ）」、Eは数学III「指数関数の微分・積分、数列の極限」、Fは原本当時の高校数学C「行列」である。

方法：Dは$\arctan$の微分、単位法線、速度ベクトルの積分。Eは導関数の符号を三段階追う不等式、挟みうち、等比級数と誤差の次数比較。Fは$2\times2$逆行列、合同条件による整数候補列挙、必要十分条件である。

テーマ：Dは凸曲線の接線角と平行曲線の弧長差、Eは指数近似の三次誤差と左端和の一次誤差、Fは整数係数の連立方程式と一様な整除条件である。使用定理・公式は高校範囲の微分法、曲線の長さ、基本的な極限と等比級数、行列式と逆行列に限る。大学数学の定理やTaylor展開を用いない。

原文の条件解釈と同一問QCの照合 独立稿を保存した後、同一問のQCと採用答案参照を読んだ。E(1)(2)、F(1)--(4)、D(1)は答えと論証の結論が一致した。D(2)(3)も下向き法線半直線を選ぶなら一致する。ただし採用答案の「凸曲線は接線の上側にあるので、曲線の下側は接線の下側である」という逆向きの含意は成り立たない。接線より上側でも曲線より下側にある点がありうる。

原文は距離1の法線点$Q$を「$G$の下側にとる」と記す。「下側」を、同じ$x$座標での$y<f(x)$と読むと非一意となる。$f(x)=3x^2$、$t=1/6$を例に取ると$f''=6>0$、$f'(t)=1$、$\theta=\pi/4$、$P=(1/6,1/12)$である。二つの法線点 $$Q_-=P+(1/\sqrt2,-1/\sqrt2),\qquad Q_+=P+(-1/\sqrt2,1/\sqrt2)$$ はともに$P$から距離1であり、各点の座標を$(\alpha_\pm,\beta_\pm)$とすると $$\displaystyle f(\alpha_-)-\beta_-=\frac32+\sqrt2>0,\qquad f(\alpha_+)-\beta_+=\frac32-\sqrt2>0.$$ よって両方ともそれぞれの$x$座標で曲線$G$の下側にある。原文には法線の半直線を指定する追加条件がない。

さらに$Q_+=P-(\sin\theta,-\cos\theta)$を連続的に選ぶと $$\displaystyle Q_+'=(\sec\theta-\theta')(\cos\theta,\sin\theta),\qquad L_{2,+}-L_1=\int_a^b\bigl(|\sec\theta-\theta'|-\sec\theta\bigr)\,dt.$$ 上の例で$t=1/6$では$\sec\theta=\sqrt2$、$\theta'=3$である。連続性により$t=1/6$の十分短い近傍では、二候補とも曲線の下側で、かつ$\theta'>\sec\theta$である。その近傍を $a\le t\le b$ の範囲とすれば、下向き枝の弧長差は$\theta(b)-\theta(a)$、他方の枝では$\theta(b)-\theta(a)-2L_1$となり、同じ端点角でも異なる。このためD(2)(3)は原文を部分グラフの意味に読む限り一意に答えられない。