1九州大学 2001年 数学 第1問解答・解説

関数 $$\displaystyle f(x)=\frac23ax^3+(a+b)x^2+(b+1)x$$ に対して $$f'(x)=2ax^2+2(a+b)x+(b+1),\qquad f'(-1)=1-b.$$ $f'$ は恒等的に0ではない多項式である。したがって、区間$I$で$f'\ge0$なら、任意の$x_1<x_2$で $\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)\,dx>0$（非零多項式は区間全体で0にはならない）となり、$f$は増加する。逆に$I$の内部で$f'<0$となる点があれば、その近傍で減少する。よって各小問は指定区間で$f'\ge0$となる条件を求めればよい。

(1) 全実数で$f'(x)\ge0$となる条件を求める。$a<0$では$x\to\pm\infty$で$f'(x)\to-\infty$となり不適。$a=0$では$f'(x)=2bx+(b+1)$であり、全実数で非負となるには傾き$b=0$が必要。このとき$f'=1$で条件を満たす。$a>0$では上に開く二次式なので、判別式$D\le0$が必要十分である。 $$\displaystyle \frac D4=(a+b)^2-2a(b+1)=a^2+b^2-2a=(a-1)^2+b^2-1.$$ よって条件は$(a-1)^2+b^2\le1$。この円板は$a=0$なら$b=0$のみを含むため、先の$a=0$の場合も合わせて $$\boxed{(a-1)^2+b^2\le1}$$ となる。$ab$平面では中心$(1,0)$、半径1の円の内部と周である。

(2) $a=0$とすると$f'(x)=2bx+(b+1)$。$b<0$なら$x\to+\infty$で$f'(x)\to-\infty$なので不適。$b=0$なら$f'=1>0$。$b>0$なら$f'$は増加し、$x>-1$での下限は境界値$f'(-1)=1-b$である。区間は開区間なので、下限が0でも内部では非負（実際は正）であり、必要十分条件は$b\le1$。従って $$\boxed{0\le b\le1}.$$

(3) $x>-1$で条件を調べる。$a<0$では$x\to+\infty$で$f'(x)\to-\infty$なので不適。$a=0$では(2)より$0\le b\le1$。次に$a>0$とし、$f'$の頂点を $$\displaystyle x_0=-\frac{a+b}{2a}$$ とおく。

$x_0\le-1$、すなわち$b\ge a$のとき、$f'$は$x>-1$で増加する。下限は$f'(-1)=1-b$なので、条件は$b\le1$。この場合は$a\le b\le1$であり、$a=0$の(2)も含めると $0\le a\le b\le1$。

$x_0>-1$、すなわち$b<a$のとき、頂点は区間内にあるため、最小値が非負となる条件は$D\le0$である。(1)の判別式計算から$(a-1)^2+b^2\le1$を得る。従って全条件は $$\boxed{0\le a\le b\le1\quad\text{または}\quad(a>0,\ b<a,\ (a-1)^2+b^2\le1)}.$$ 図示すると、境界は線分$a=0\ (0\le b\le1)$、線分$b=1\ (0\le a\le1)$、および円$(a-1)^2+b^2=1$の大きい方の弧である。弧は$(1,1)$から$(2,0)$、$(1,-1)$を経て$(0,0)$へ至る。境界を含む。