4九州大学 2001年 数学 第4問解答・解説

A　 (1)　 a$\ne$0 より、与式を平方完成すると $$\displaystyle a\left|z+\frac{b}{a}\right|^2+c-\frac{|b|^2}{a}=0,\qquad \left|z+\frac{b}{a}\right|^2=\frac{|b|^2-ac}{a^2}.$$ 右辺は正である。したがって、点 z は中心 -b/a、半径 $\sqrt{|b|^2-ac}$/|a| の円を描く。　 (2)　 A=(z-p)($\overline z$-$\overline q$) とおくと、右辺の積 (z-q)($\overline z$-$\overline p$) は $\overline A$ である。よって条件は dA=$\overline{dA}$、すなわち dA が実数であることと同値である。　 d=u+iv とすると、dA の虚部は u$\operatorname{Im}$A+v$\operatorname{Re}$A であり、A=|z|^2-z$\overline q$-p$\overline z$+p$\overline q$ だから、この条件は z の座標について二次式となり、|z|^2 の係数は v である。v$\ne$0 のとき平方完成すれば円の方程式となる。この円は z=p,q を代入して条件を満たすため、p,q を通る。v=0 のときは d は0でない実数であり、条件は $\operatorname{Im}$A=0 である。これは z-p と z-q が実数倍の関係にあること、すなわち p,q,z が一直線上にあることを表す。したがって軌跡は p,q を通る直線である。　 　 B　 (1)　 残り2回の目は、3の目がちょうど3回、5の目がちょうど2回という条件から 1,2,4,6 のいずれかである。残りに1または2があると、3つの3のうち少なくとも1つが第4番目に来て、X_4=3 となる。残り2回の目がともに4以上なら、それらは4または6である。少なくとも一方が4なら、3,3,3の後に4が来るので X_4=4 となり、2つとも6なら X_4=5 となる。これらはすべて実現でき、ほかの値は生じない。　 (2)　 $X_1=2$ となるのは、全ての目が2以上で、かつ少なくとも一度2が出る場合である。余事象を用いると $$\displaystyle P(X_1=2)=\left(\frac56\right)^n-\left(\frac46\right)^n.$$ (3)　 1$\le$ X_1$\le$6 なので、$\displaystyle X_1=\sum\limits _{k=1}^{6}\mathbf{1}_{\{X_1\ge k\}}$ と表せる。各 k について X_1$\ge$ k となるのは n 回とも k 以上が出る場合だから、$P(X_1\ge k)=((7-k)/6)^n$ である。よって $$\displaystyle E(X_1)=\sum\limits _{k=1}^{6}P(X_1\ge k)=1+\left(\frac56\right)^n+\left(\frac46\right)^n+\left(\frac36\right)^n+\left(\frac26\right)^n+\left(\frac16\right)^n.$$ (4)　 (3)より $$\displaystyle \frac1n\log(E(X_1)-1)=\log\frac56+\frac1n\log\left(1+\left(\frac45\right)^n+\left(\frac35\right)^n+\left(\frac25\right)^n+\left(\frac15\right)^n\right).$$ 括弧内は1に収束するので、その対数を n で割った項は0に収束する。したがって極限は $\log(5/6)$ である。　 (5)　 各回の目を Y とすると 7-Y も同じ確率で1から6をとる。各回を 7-Y に置き換えた列の最小値は、元の列の最大値 X_n を用いて 7-X_n と表せる。置き換え後の最小値の期待値は $X_1$ の期待値と等しいから、$E(X_n)=7-E(X_1)$。よって $E(X_1+X_n)=7$。　 　 C　 (1)　 1周目の (b) では (i,j,k)=(100,n,0) である。1周目は i が偶数なので k は変わらず、(d),(e)の後、2周目は (50,2n,0) となる。2周目も i が偶数なので、3周目は (25,4n,0) である。3周目は i=25 が奇数だから k に 4n を加え、(d),(e)の後、4周目は (12,8n,4n) となる。　 (2)　 (b)で終了しない回の値を (i,j,k) とする。i が偶数なら、次の (b) では (i',j',k')=(i/2,2j,k) だから i'j'+k'=ij+k である。i が奇数なら、(c)で k'=k+j とした後に i'=(i-1)/2, j'=2j となるので、$i'j'+k'=((i-1)/2)(2j)+(k+j)=ij+k$。したがって各回で i*j+k は変化しない。最後の (b) では i=1 であり、Ans=k+j=i*j+k だから、この値も初期値から変わらない。　 (3)　 初期値は (i,j,k)=(m,n,0) なので、一定値 i*j+k は mn である。最後の (b) で Ans=i*j+k となるから $\mathrm{Ans}=mn$。　 (4)　 d を r 回実行した直後の i は $\displaystyle \left[\frac{3\cdot2^\ell}{2^r}\right]$ である。r=0,1,$\ldots$,$\ell$ の間は i=3$\cdot$2^{$\ell$-r} であり、r=$\ell$ で i=3 となる。さらに1回 d を実行すると i=1 となり、次の (b) で終了する。したがって (d) の実行回数は $\ell$+1 回である。