2九州大学 2001年 数学 第2問解答・解説

{ (1)}　 点$(X,Y)$の点$(p,q)$に関する対称点を$(X',Y')$とする。$(p,q)$は線分$(X,Y)(X',Y')$の中点であるから $$\displaystyle p=\frac{X+X'}{2},\qquad q=\frac{Y+Y'}{2}.$$ これを$X',Y'$について解いて $$X'=2p-X,\qquad Y'=2q-Y.$$ よって求める対称な点の座標は $$(2p-X,\ 2q-Y).$$

{ (2)}　 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$とする。$\displaystyle p=-\dfrac{a}{3}$とおき，$x=p+t$（すなわち$\displaystyle t=x-p=x+\dfrac{a}{3}$）とおいて$f(x)$を$t$の式に書き直す。 $$(p+t)^{3}=t^{3}+3pt^{2}+3p^{2}t+p^{3},\quad a(p+t)^{2}=at^{2}+2apt+ap^{2},\quad b(p+t)=bt+bp$$ を辺々加えると，$\displaystyle p=-\dfrac a3$より$t^{2}$の係数は$\displaystyle 3p+a=3\left(-\dfrac a3\right)+a=0$となって消え， $$f(p+t)=t^{3}+\Bigl(3p^{2}+2ap+b\Bigr)t+\bigl(p^{3}+ap^{2}+bp+c\bigr).$$ $\displaystyle 3p^{2}+2ap+b=3\cdot\dfrac{a^{2}}9+2a\left(-\dfrac a3\right)+b=\dfrac{a^{2}}{3}-\dfrac{2a^{2}}{3}+b=b-\dfrac{a^{2}}{3}=:k$ とおき，また $$\displaystyle q:=p^{3}+ap^{2}+bp+c=f(p)=-\frac{a^{3}}{27}+\frac{a^{3}}{9}-\frac{ab}{3}+c=\frac{2a^{3}-9ab+27c}{27}$$ とおくと， $$f(p+t)=t^{3}+kt+q\qquad(\text{すべての実数 }t\text{ について}).\tag{$\ast$}$$ $g(t):=t^{3}+kt$は奇関数であり$g(-t)=-g(t)$を満たすから，$(\ast)$より $$f(p+t)=g(t)+q,\qquad f(p-t)=g(-t)+q=-g(t)+q.$$ 辺々加えて $$f(p+t)+f(p-t)=2q\qquad(\text{すべての実数 }t\text{ について}).\tag{$\ast\ast$}$$ 一方，(1)の結果により，点$(p+t,\,f(p+t))$の点$(p,q)$に関する対称点は $$\bigl(2p-(p+t),\,2q-f(p+t)\bigr)=\bigl(p-t,\,2q-f(p+t)\bigr)$$ であるが，$(\ast\ast)$より$2q-f(p+t)=f(p-t)$なので，この対称点はちょうど$\bigl(p-t,\,f(p-t)\bigr)$，すなわち$G$上の点である。

$t$がすべての実数を動けば$x=p+t$もすべての実数を動くから，$G$上の任意の点$(x,f(x))$の点$(p,q)$に関する対称点は再び$G$上にある。よって$G$は点 $$\displaystyle \left(-\frac a3,\ \frac{2a^{3}-9ab+27c}{27}\right)\ \bigl(=(p,\,f(p))\bigr)$$ に関して点対称である。$\blacksquare$

{ (3)}　 直線$\ell:mx+ny=0$（$m,n$は共には0でない，よって$m^{2}+n^{2}>0$）は原点を通り，法線方向は$(m,n)$である。点$(X,Y)$から$\ell$へ下ろした垂線の足を$H$とすると，$H$は$(X,Y)$から法線方向$(m,n)$へ進んだ点であるから，実数$s$を用いて $$H=(X+sm,\ Y+sn)$$ と表せる。$H$は$\ell$上の点であるから $$\displaystyle m(X+sm)+n(Y+sn)=0\ \text{より}\ (m^{2}+n^{2})s=-(mX+nY)\ \text{より}\ s=-\frac{mX+nY}{m^{2}+n^{2}}.$$ 求める対称点$(X',Y')$は$H$が線分$(X,Y)(X',Y')$の中点となる点であるから $$(X',Y')=2H-(X,Y)=(X+2sm,\ Y+2sn).$$ $s$を代入して整理すると $$\displaystyle \begin{aligned} X'&=X-\frac{2m(mX+nY)}{m^{2}+n^{2}}=\frac{(n^{2}-m^{2})X-2mnY}{m^{2}+n^{2}},\\ Y'&=Y-\frac{2n(mX+nY)}{m^{2}+n^{2}}=\frac{-2mnX+(m^{2}-n^{2})Y}{m^{2}+n^{2}}. \end{aligned}$$ よって求める対称な点の座標は $$\displaystyle \left(\frac{(n^{2}-m^{2})X-2mnY}{m^{2}+n^{2}},\ \frac{-2mnX+(m^{2}-n^{2})Y}{m^{2}+n^{2}}\right).$$

{ (4)}　 $G$が原点を通るある直線$\ell:mx+ny=0$（$m,n$は共には0でない）に関して線対称であると仮定し，矛盾を導く。

(3)の結果を用いて， $$\displaystyle \alpha=\frac{n^{2}-m^{2}}{m^{2}+n^{2}},\qquad \beta=-\frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}\qquad(\alpha^{2}+\beta^{2}=1)$$ とおくと，点$(x,y)$の$\ell$に関する対称点$(X'(x),Y'(x))$は $$X'(x)=\alpha x+\beta y,\qquad Y'(x)=\beta x-\alpha y$$ と表せる。$G$上の点$(x,f(x))$（$x$はすべての実数を動く）にこれを適用すると $$X'(x)=\alpha x+\beta f(x)=\beta x^{3}+a\beta x^{2}+(\alpha+b\beta)x+c\beta.$$ $$Y'(x)=\beta x-\alpha f(x)=-\alpha x^{3}-a\alpha x^{2}+(\beta-b\alpha)x-c\alpha.$$ $G$が$\ell$に関して線対称であるということは，$G$上の任意の点の対称点が再び$G$上（すなわちグラフ$y=f(x)$上）にあるということであるから，$G$が関数のグラフであることより，すべての実数$x$に対して $$Y'(x)=f\bigl(X'(x)\bigr)\tag{i}$$ が成り立たなければならない。

$\beta\neq0$のとき：$X'(x)$は$x$の3次式で，最高次の係数は$\beta$である。したがって$f(X'(x))=X'(x)^{3}+aX'(x)^{2}+bX'(x)+c$は$x$の多項式として最高次の項が$\beta^{3}x^{9}$（係数$\beta^{3}\neq0$）である9次式になる。よって $$h(x):=f(X'(x))-Y'(x)$$ は，$Y'(x)$が高々3次式であることから，$x^{9}$の係数が$\beta^{3}\ (\neq0)$である（消えない）9次多項式であり，恒等的に0ではない。ゆえに$h(x)=0$となる$x$は高々9個しかなく，(i)（$h(x)=0$がすべての実数$x$で成り立つこと）に矛盾する。よって$\beta\neq0$はあり得ない。

$\beta=0$のとき：$\displaystyle \beta=-\dfrac{2mn}{m^{2}+n^{2}}=0$より$mn=0$。$m,n$は共には0でないから，$m=0,\,n\neq0$または$m\neq0,\,n=0$のいずれかである。

(a) $m=0$（$n\neq0$）のとき：$\ell$は$ny=0$すなわち$y=0$（$x$軸）。このとき$\alpha=1,\beta=0$で$X'(x)=x,\ Y'(x)=-f(x)$。(i)は $$-f(x)=f(x)\quad(\text{すべての実数 }x\text{ について})\ \text{すなわち}\ f(x)=0\quad(\text{すべての実数 }x\text{ について}).$$ しかし$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$は3次の項の係数が$1\ (\neq0)$である多項式だから恒等的に0にはならず（実数解は高々3個），矛盾。

(b) $n=0$（$m\neq0$）のとき：$\ell$は$mx=0$すなわち$x=0$（$y$軸）。このとき$\alpha=-1,\beta=0$で$X'(x)=-x,\ Y'(x)=f(x)$。(i)は $$f(x)=f(-x)\quad(\text{すべての実数 }x\text{ について}).$$ ここで $$f(x)-f(-x)=2x^{3}+2bx=2x(x^{2}+b)$$ は3次の項の係数が$2\ (\neq0)$である多項式であるから恒等的に0にはならず（実数解は高々3個），矛盾。

以上，(a)(b)いずれの場合も矛盾するので，$\beta=0$の場合もあり得ない。$\beta\neq0,\beta=0$のいずれの場合にも矛盾が生じたので，最初の仮定は誤りである。したがって$G$は原点を通るどんな直線に関しても線対称ではない。$\blacksquare$

(1)は中点公式で直接解く。(2)は$\displaystyle x=-\frac a3$を中心とする平行移動$\displaystyle t=x+\frac a3$により3次関数の2次の項を消去し、奇関数+定数の形$f(p+t)=t^3+kt+q$を作って$f(p+t)+f(p-t)=2q$を示し、(1)の対称点公式と組み合わせて点$\displaystyle \left(-\frac a3,f\left(-\frac a3\right)\right)$に関する点対称性を証明する。(3)は垂線の足Hを法線方向$(m,n)$のパラメータ表示で求め、Hが直線上にある条件からHを定め、対称点を$2H-(X,Y)$として求める。(4)は(3)で得た対称変換をG上の点$(x,f(x))$に適用し、対称点のx座標$X'(x)$・y座標$Y'(x)$を$x$の多項式として表す。$\beta\ne0$なら合成$f(X'(x))$が9次式になり3次以下の$Y'(x)$と恒等的に一致し得ないこと、$\beta=0$（$x$軸または$y$軸の場合）なら$f\equiv0$または$f(x)-f(-x)\equiv0$という3次多項式の恒等的消滅が要求されるが3次の係数が非零であるため不可能であることを示し、いずれの場合も矛盾するのでGは原点を通るどの直線に関しても線対称でないと結論する。