2東京大学 2000年 数学 第2問解答・解説

必要性を示す。$w=\alpha\beta$ と仮定すると，$\alpha\ne0,\beta\ne0$ より $w\ne0$ である。$R(w)$ は原点から直線 $l$ への垂線の足なので，$\overrightarrow{OR}$ を表す複素数 $w$ は $l$ に垂直である。$P(\alpha)$ は $l$ 上にあるから，$\alpha-w$ は $w$ と垂直であり， $$(\alpha-w)\overline w+\overline{(\alpha-w)}w=0, \quad\text{すなわち}\quad \alpha\overline w+\overline\alpha w=2|w|^2.$$ ここに $w=\alpha\beta$ を代入すると $$|\alpha|^2(\beta+\overline\beta)=2|\alpha|^2|\beta|^2.$$ $|\alpha|^2>0$ より $\beta+\overline\beta=2|\beta|^2$，したがって $\operatorname{Re}(\beta)=|\beta|^2$ である。同様に，$Q(\beta)$ が $l$ 上にあることから $\operatorname{Re}(\alpha)=|\alpha|^2$ も得る。任意の複素数 $\gamma$ について $$\displaystyle \left|\gamma-\frac12\right|^2 =|\gamma|^2-\operatorname{Re}(\gamma)+\frac14$$ だから，$\operatorname{Re}(\gamma)=|\gamma|^2$ は $\displaystyle \left|\gamma-\frac12\right|=\frac12$ と同値である。よって $P,Q$ は指定された円周上にある。

十分性を示す。$P,Q$ がその円周上にあるとする。すると $$\alpha+\overline\alpha=2|\alpha|^2,\qquad \beta+\overline\beta=2|\beta|^2.$$ $w=\alpha\beta$ とおくと $w\ne0$ であり， $$\alpha\overline w+\overline\alpha w =|\alpha|^2(\overline\beta+\beta) =2|\alpha|^2|\beta|^2 =2|w|^2.$$ 同様に $\beta\overline w+\overline\beta w=2|w|^2$ である。したがって $\alpha,\beta$ はともに $$z\overline w+\overline z w=2|w|^2 \quad\bigl(\operatorname{Re}(z\overline w)=|w|^2\bigr)$$ を満たす。この式は，実座標 $z=(x,y), w=(u,v)$ で $xu+yv=u^2+v^2$ と表される直線であり，法線ベクトルは $w=(u,v)$ である。また $z=w$ もこの式を満たす。$P,Q$ は相異なるので，この直線は $P,Q$ を通る直線 $l$ と一致し，$w$ は原点から $l$ に下ろした垂線の足である。ゆえに $R(w)$ の複素数表示は $w=\alpha\beta$ となる。

以上より，$w=\alpha\beta$ であるための必要十分条件は，$P(\alpha),Q(\beta)$ が中心 $1/2$，半径 $1/2$ の円周上にあることである。